Khi nào một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? Trong thực tế, hình ảnh của sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta khái niệm về sự vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt kiến thức cần nhớ và hướng dẫn giải các bài tập một cách chi tiết, dễ hiểu cho bài học: "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng". Hy vọng đây là tài liệu có ích với các em..
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Định nghĩa
Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy. (hình 3.17)
Định lí 1
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phăng ấy.
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.
2. Tính chất
Tính chất 1
Có duy nhất một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
Tính chất 2
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn AB, gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
4. Phép chiếu vuông góc
Định nghĩa
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương $l$ vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P)
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ thì ta nói rằng góc giữa d và $(\alpha )$ bằng \(90^{0} .\)
Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ thì góc giữa d và hình chiếu d' của nó trên $(\alpha )$, gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng $(\alpha )$.
Chú ý: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá \(90^{0} .\)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 104 - SGK Hình học 11
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \((\alpha)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Nếu \(a//(\alpha)\) và \(b\bot (\alpha)\) thì \(a\bot b\)
b) Nếu \(a//(\alpha)\) và \(b\bot a\) thì \(b\bot (\alpha)\)
c) Nếu \(a//(\alpha)\) và \(b// (\alpha)\) thì \(b//a\)
d) Nếu \(a\bot (\alpha)\) và \(b\bot a\) thì \(b// (\alpha)\)
Câu 2: Trang 104 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Câu 3: Trang 104 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có \(SA=SB=SC=SD\).Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\);
b) Đường thẳng \( AC\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\) và đường thẳng \(BD\) vuông góc với mặt phẳng \(SAC\).
Câu 4: Trang 105 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);
b) \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)
Câu 5: Trang 105 - SGK Hình học 11
Trên mặt phẳng \((α)\) cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). \(S\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) sao cho \(SA = SC, SB = SD\). Chứng minh rằng:
a) \(SO ⊥ (α)\);
b) Nếu trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ \(SH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) thì \(AB\) vuông góc mặt phẳng \((SOH)\).
Câu 6: Trang 105 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \(I\) và \(K\) là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh \(SB\) và \(SD\) sao cho \(\frac{SI}{SB}=\frac{SK}{SD}.\) Chứng minh:
a) \(BD\) vuông góc với \(SC\);
b) \(IK\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).
Câu 7: Trang 105 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(SABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ từ \(AM\) vuông góc với \(SB\) tại \(M\). Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}.\) Chứng minh rằng:
a) \(BC ⊥ (SAB)\) và \(AM ⊥ (SBC)\);
b) \(SB ⊥ AN\).
Câu 8: Trang 105 - SGK Hình học 11
Cho điểm \(S\) không thuộc cùng mặt phẳng \((α)\) có hình chiếu là điểm \(H\). Với điểm \(M\) bất kì trên \((α)\) và \(M\) không trùng với \(H\), ta gọi \(SM\) là đường xiên và đoạn \(HM\) là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;
b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.