Giải Câu 4 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Kéo dài AH cắt BC tại E, CH cắt AB tại K.
a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.
- \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) (gt) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\) (Tính chất)
- Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\) (gt) mà $OB \cap OC$
\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\) (Tính chất)
Ta có:
$\left.\begin{matrix} OH& \perp BC \\ OA& \perp BC \\ OH& \cap OA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\perp (OAH)$
mà: \(AH\subset (OAH) \Rightarrow BC ⊥ AH\) (1)
- Chứng minh tương tự: \(OA ⊥ OC\), \(OB ⊥ OC\) (gt) mà $OA \cap OB$
\(\Rightarrow OC ⊥ (OAB) \Rightarrow OC ⊥ AB\) (Tính chất)
Ta có:
$\left.\begin{matrix} OH& \perp AB \\ OC& \perp AB \\ OH& \cap OC \end{matrix}\right\}\Rightarrow AB\perp (OHC)$
mà: \(CH\subset (OHC) \Rightarrow AB ⊥ HC\) (2)
- Từ (1) (2) \(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
b)
- Trong mặt phẳng \((ABC)\) vì \(E = AH ∩ BC\), \(OH ⊥ (ABC)\), \(AE ⊂ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ AE\) tại \(H\);
- \(OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) \Rightarrow OA ⊥ OE\)
=> \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAE\)
=> \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}}\) (3)
Mặt khác \(OE\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\)
=> \(\frac{1}{OE^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}\)
Thay vào (3) ta có:
\(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}} =\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)