Giải Câu 4 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Giải Câu 4 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Kéo dài AH cắt BC tại E, CH cắt AB tại K.

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.

$H$ là hình chiếu của $O$ trên mp $(A B C)$ (gt) nên $O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ B C$ (Tính chất)
Mặt khác: $O A ⊥ O B$ , $O A ⊥ O C$ (gt) mà $O B \cap O C$

$\Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C$ (Tính chất)

Ta có:

$\begin{matrix} O H & ⊥ B C \\ O A & ⊥ B C \\ O H & \cap O A \end{matrix}} \Rightarrow B C ⊥ (O A H)$

mà: $A H \subset (O A H) \Rightarrow B C ⊥ A H$ (1)

$\Rightarrow O C ⊥ (O A B) \Rightarrow O C ⊥ A B$ (Tính chất)

Ta có:

$\begin{matrix} O H & ⊥ A B \\ O C & ⊥ A B \\ O H & \cap O C \end{matrix}} \Rightarrow A B ⊥ (O H C)$

mà: $C H \subset (O H C) \Rightarrow A B ⊥ H C$ (2)

Trong mặt phẳng $(A B C)$ vì $E = A H \cap B C$ , $O H ⊥ (A B C)$ , $A E \subset (A B C) \Rightarrow O H ⊥ A E$ tại $H$ ;
$O A ⊥ (A B C), O E \subset (A B C) \Rightarrow O A ⊥ O E$

=> $O H$ là đường cao của tam giác vuông $O A E$

=> $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O E^{2}}$ (3)

Mặt khác $O E$ là đường cao của tam giác vuông $O B C$

=> $\frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

Thay vào (3) ta có:

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} .$