Thế nào là giá trị lượng giác? Để giải đáp câu hỏi này, Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 2: Giá trị lượng giác của một cung. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..
Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Giá trị lượng giác
1. Định nghĩa
Các giá trị \(sin\,\alpha ; cos\,\alpha; tan\,\alpha; cot\,\alpha\)được gọi là các giá trị lượng giác của cung \(\alpha\)
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cos.
CHÚ Ý:
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác
- Nếu \(0^o \leq \alpha \leq 180^o\)thì các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\)chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.
2. Hệ quả.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Giá trị lượng giác | Góc phần tư | |||
I | II | III | IV | |
\(cos\,\alpha\) | + | - | - | + |
\(sin\,\alpha\) | + | + | - | - |
\(tan\,\alpha\) | + | - | + | - |
\(cot\,\alpha\) | + | - | + | - |
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
\(\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\pi }{6}\) | \(\frac{\pi }{4}\) | \(\frac{\pi }{3}\) | \(\frac{\pi }{2}\) |
\(sin\,\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt 2}{2}\) | \(\frac{\sqrt 3}{2}\) | \(1\) |
\(cos\,\alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt 3}{2}\) | \(\frac{\sqrt 2}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
\(tan\,\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt 3}\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) | Không xác định |
\(cot\,\alpha\) | Không xác định | \(\sqrt 3\) | \(1\) | \(\frac{1}{\sqrt 3}\) | \(0\) |
II. Ý nghĩa hình học của Tang và Côtang
1. Ý nghĩa hình học của \(tan\,\alpha \)
\(tan\,\alpha \)được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AT}\)trên trục \(t’At\).
Trục \(t’At\)được gọi là trục tang.(hình 50 sgk trang 144)
2. Ý nghĩa hình học của \(cot\,\alpha \)
\(cot\,\alpha \)được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{BS}\)trên trục \(s’Bs\).
Trục \(s’Bs\)được gọi là trục côtang.(hình 51 sgk trang 144)
III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
\(sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\) |
|
\(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }\) | \(\alpha \neq \frac{\pi }{2}+k \pi , k \in \mathbb{Z}\) |
\(1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\) | \(\alpha \neq k \pi , k \in \mathbb{Z}\) |
\(tan\,\alpha .cot \,\alpha =1\) | \(\alpha \neq \frac{k \pi }{2} , k \in \mathbb{Z}\) |
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau: \(\alpha \)và \(-\alpha \)
\(cos\,(-\alpha)= cos\,\alpha\)
\(sin\,(-\alpha)= -sin\,\alpha\)
\(tan\,(-\alpha)= -tan\,\alpha\)
\(cot\,(-\alpha)= -cot\,\alpha\)
b. Cung bù nhau : \(\alpha \)và \(\pi -\alpha \)
\(sin\,(\pi -\alpha)= sin\,\alpha\)
\(cos\,(\pi -\alpha)= -cos\,\alpha\)
\(tan\,(\pi -\alpha)= -tan\,\alpha\)
\(cot\,(\pi -\alpha)= -cot\,\alpha\)
c. Cung hơn kém \(\pi \):\(\alpha \)và \(\alpha +\pi \)
\(sin\,(\alpha +\pi )= -sin\,\alpha\)
\(cos\,(\alpha +\pi )= -cos\,\alpha\)
\(tan\,(\alpha +\pi )= tan\,\alpha\)
\(cot\,(\alpha +\pi )= cot\,\alpha\)
d. Cung phụ nhau \(\alpha \)và \(\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )\)
\(sin\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=cos\,\alpha \)
\(cos\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=sin\,\alpha \)
\(tan\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=cot\,\alpha \)
\(cot\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=tan\,\alpha \)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: trang 148 sgk Đại số 10
Có cung \(α\) nào mà \(\sinα\) nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
| a) \(-0,7\) | b) \( \frac{4}{3}\) |
| c) \(-\sqrt2\) | d)\( \frac{\sqrt{5}}{2}\) |
Câu 2: trang 148 sgk Đại số 10
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a) \(\sin α = \frac{\sqrt{2}}{3}\) và \(\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}\);
b) \(\sinα = -\frac{4}{5}\) và \(\cosα = -\frac{3}{5}\)
c) \(\sinα = 0,7\) và \(\cosα = 0,3\)
Câu 3: trang 148 sgk Đại số 10
Cho \(0 < α < \frac{\pi }{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác
| a) \(\sin(α - π)\) | b) \(\cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)\) |
| c) \(\tan(α + π)\) | d) \(\cot\left(α + \frac{\pi }{2}\right)\) |
Câu 4: trang 148 sgk Đại số 10
Tính các giá trị lượng giác của góc \(α\), nếu:
a) \(\cosα = \frac{4}{13}\) và \(0 < α < \frac{\pi }{2}\);
b) \(\sinα = -0,7\) và \(π < α < \frac{3\pi }{2}\);
c) \(\tan α = -\frac{15}{7}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\);
d) \(\cotα = -3\) và \( \frac{3\pi }{2} < α < 2π\).
Câu 5: trang 148 sgk Đại số 10
Tính \(α\), biết:
| a) \(\cosα = 1\) | b) \(\cosα = -1\) |
| c) \(\cosα = 0\) | d) \(\sinα = 1\) |
| e) \(\sinα = -1\) | f) \(\sinα = 0\) |