KHỞI ĐỘNG
Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?
Hướng dẫn giải:
- Hình 1 sử dụng định lí Pytago:
= + = + BC = 5 - Hình 2 sử dụng định lí côsin trong tam giác:
= + - 2MN. MP. cosM = + - 2. 4. 3. cos NP =
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC
Khám phá 1:
a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và
Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức
- Xét tam giác vuông BCD, ta có
. (1) - Xét tam giác vuông ACD, ta có
. (2) - cosA =
? = bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có:
Lưu ý: Nếu
b. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA =
c. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức
Hướng dẫn giải:
a. cosA =
b. Xét tam giác CDB vuông tại D, ta có:
Xét tam giác CDA vuông tại D, ta có:
cos
Thay (5), (6) vào (4), ta có:
c. Tam giác ABC vuông tại A
Ta có:
Thực hành 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.
Hướng dẫn giải:
Theo định lí côsin, ta có:
Vậy BC
Vận dụng 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc
Hướng dẫn giải:
Gọi các đỉnh của tam giác như trong hình vẽ:
Ta có:
Vậy khoảng cách giữa hai điểm là 1097,15m.
2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC
Khám phá 2:
a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.
i. Tính sin
ii. Tìm mối liên hệ giưa
b. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R =
Hướng dẫn giải:
a.
i. Xét tam giác BDC vuông tại C ta có:
sin
ii. Với tam giác ABC có góc A nhọn, ta có:
Với tam giác ABC có góc A tù, ta có tứ giác ACDB nội tiếp đường tròn tâm O
b. Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
Ta có: sinA = sin
Từ (1) và (2)
Thực hành 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Suy ra:
MP =
Vận dụng 2: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).
Ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác CBD ta có:
Suy ra: BD =
CD =
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD, ta có:
Nhận thấy: AD < BD nên dẫn nước từ bồn chứa A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.
3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Khám phá 3: Cho tam giác như Hình 10.
a. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và
b. Tính
c. Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S =
d. Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức S =
Hướng dẫn giải:
a. Xét tam giác ABC, đường cao AH:
b. Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
sinC =
c. Thay (2) vào (1) ta được: S =
d. Áp dụng định lí sin ta có:
Khám phá 4: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).
a. Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
b. Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: S =
Hướng dẫn giải:
a.
b.
Thực hành 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a. Các cạnh b = 14, c = 35 và
b. Cách cạnh a = 4, b = 5, c = 3.
Hướng dẫn giải:
a. S =
Áp dụng định lí cosin, ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có: R =
b. Ta có: p =
Áp dụng công thức Heron, ta có:
S =
Ta có: S =
Vận dụng 3: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là
Hướng dẫn giải:
Chọn các đỉnh A, B, C như hình.
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
S =
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 1. Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:
Bài tập 2. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
Bài tập 3. Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152,
Bài tập 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.
Bài tập 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm và góc ở đỉnh là
Bài tập 6. Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và
a. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.
Bài tập 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.
a. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác GBC.
Bài tập 8. Cho
Bài tập 9. Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
a. Chứng minh rằng
b. Biết rằng
Bài tập 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng
a. Chứng minh S =
b. Nêu kết quả trong trường hợp AC