Giải bài 3 Giải tam giác và ứng dụng thực tế

KHỞI ĐỘNG

Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ sau, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

Khoảng cách giữa hai cây bên kia bờ sông là: $\sqrt{75^{2} + 100^{2} - 2. 75. 100. cos32^{\circ}} \approx$ 53,9 (m)

1. GIẢI TAM GIÁC

Thực hành: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a. a = 17,4; $\widehat{B} = 44^{\circ}30'$; $\widehat{C} = 64^{\circ}$          

b. a = 10; b = 6; c = 8

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $\widehat{A}$ = $180^{\circ} - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^{\circ} - 44^{\circ}30' - 64^{\circ}=71^{\circ}30'$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$

$\Rightarrow$ b = $\frac{a.sinB}{sinA}$ = $\frac{17,4.sin44^{\circ}30'}{sin71^{\circ}30'}$ $\approx$ 12,9 

c = $\frac{a.sinC}{sinA}$ = $\frac{17,4.sin64^{\circ}}{sin71^{\circ}30'}$ $\approx$ 16,5.

b. Áp dụng hệ quả của định lí côsin, ta có:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$ = $\frac{6^{2} + 8^{2} - 10^{2}}{2. 6. 8}$ = 0

$\Rightarrow$ $\widehat{A} = 90^{\circ}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ $\Rightarrow$ sinB = $\frac{b. sinA}{a}$ = $\frac{6.sin90^{\circ}}{10}$ = $\frac{3}{5}$

$\Rightarrow$ $\widehat{B} = 36^{\circ}52'$

$\Rightarrow$ $\widehat{C} = 180^{\circ} - 36^{\circ}52' - 90^{\circ} = 53^{\circ}8'$

2. ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN VÀO THỰC TẾ

Vận dụng 1: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc $25^{\circ}$ về phái tây với tốc độ 630km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilomet? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Hướng dẫn giải:

Đổi 90' = 1,5h

Quãng đường máy bay thứ nhất bay được sau 90 phút là: OA = 450.1,5 = 675 (km)

Quãng đường máy bay thứ hai bay được sau 90 phút là: OB = 630. 1,5 = 945 (km)

Ta có: $\widehat{AOB} = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin, ta có:

$AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} - 2OA.OB.cos\widehat{AOB} = 675^{2} + 945^{2} - 2. 675. 945.cos65^{\circ}$ $\approx$ 809494,75

$\Rightarrow$ AB $\approx$ 899,7 (km)

Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.

Thực hành 2: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ gisc với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:

$cos\widehat{CHL} = \frac{HC^{2} + HL^{2} - CL^{2}}{2.HC.HL} = \frac{78^{2} + 104^{2} - 49^{2}}{2. 78. 104} \approx 0,89$

$\Rightarrow \widehat{CHL} \approx 26^{\circ}39'$

$cos\widehat{LHR} = \frac{HL^{2} + HR^{2} - RL^{2}}{2.HC.HL} = \frac{104^{2} + 77^{2} - 56^{2}}{2. 104. 77} \approx 0,85$

$\Rightarrow \widehat{CHL} \approx 31^{\circ}49'$

$\Rightarrow \widehat{CHR} = \widehat{CHL} + \widehat{LHR} \approx 26^{\circ}39' + 31^{\circ}49' = 58^{\circ}28'$

Áp dụng định lí côsin, ta có:

$CR^{2} = HC^{2} + HR^{2} - 2HC. HR.cos\widehat{CHR} = 78^{2} + 77^{2} - 2. 78. 77. cos58^{\circ}28' \approx$ 5730,79

$\Rightarrow$ CR $\approx$ 75,7 (km)

Vậy Châu Đốc và Rạch Giá cách nhau khoảng 75,7 km.