Bài tập 1. Cho tam giác ABC biết a = 49; b = 26,4; $\widehat{C}$ = $47^{\circ}20'$. Tính hai góc $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ và cạnh c.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí côsin, ta có:
c = $\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2abcosC}$
= $\sqrt{49,4^{2} + 26,4^{2} - 2.49,4.6,4cos47^{\circ}20'} \approx$ 37
Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC}$
$\Rightarrow$ sinA = $\frac{a.sinC}{c} = \frac{49,4. sin47^{\circ}20'}{37} \approx$ 0,98
$\Rightarrow \widehat{A} \approx 78^{\circ}31'$
$\Rightarrow \widehat{B} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{C} \approx 180^{\circ} - 78^{\circ}31' - 47^{\circ}20' = 54^{\circ}9'$
Bài tập 2. Cho tam giác ABC. Biết a = 24, b = 13, c = 15. Tính các góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin, ta có:
cos A = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = \frac{13^{2} + 15^{2} - 24^{2}}{2. 13. 15} = \frac{-7}{15}$
$\Rightarrow \widehat{A} \approx 117^{\circ}49'$
Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$
$\Rightarrow$ sinB = $\frac{b.sinA}{a} = \frac{13. sin117^{\circ}49'}{24} \approx$ 0,48
$\Rightarrow \widehat{B} \approx 28^{\circ}41'$
$\Rightarrow \widehat{C} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{B} \approx 180^{\circ} - 117^{\circ}49' - 28^{\circ}41' = 33^{\circ}30'$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 3. Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.
a. Tam giác ABC có góc tù không?
b. Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính dường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
c. Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.
Bài tập 4. Cho tam giác ABC có $\widehat{A} = 120^{\circ}$, b = 8, c = 5. Tính:
a. Các cạnh a và các góc $\widehat{B}, \widehat{C}$;
b. Diện tích tam giác ABC;
c. Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH.
Bài tập 5. Cho hình bình hành ABCD.
a. Chứng minh 2($AB^{2} + BC^{2}) = AC^{2} + BD^{2}$.
b. Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.
Bài tập 6. Cho tam giác ABC có a = 15, b = 20, c = 25.
a. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài tập 7. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
cotA + cotB + cot C = $\frac{R.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}$
Bài tập 8. Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370km, 350km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là $2,1^{\circ}$.
Bài tập 9. Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp AB dưới các góc $\widehat{BPA} = 35^{\circ}$ và $\widehat{BQA} = 48^{\circ}$. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
Bài tập 10. Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là h = 1,2m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm $A_{1}$, $B_{1}$ cùng thẳng hàng với $C_{1}$ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\widehat{DA_{1}C_{1}} = 49^{\circ}$, $\widehat{DB_{1}C_{1}} = 35^{\circ}$. Tính chiều cao CD của tháp.