Giải bài 1 Tọa độ của vectơ

KHỞI ĐỘNG

Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Hướng dẫn giải:

Gắn bàn cờ vua với hệ trục tọa độ Oxy, khi đó, các quân mã có tọa độ (x; y).

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Khám phá 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của $\vec{i}$ trên trục Ox và $\vec{j}$ trên trục Oy (Hình 1).

Hướng dẫn giải:

Độ lớn của $\vec{i}$ bằng độ lớn của $\vec{j}$, phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Tọa độ của một vectơ

Khám phá 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Vẽ $\vec{OA}$ = $\vec{a}$ và gọi $A_{1}$, $A_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt $\vec{OA_{1}}$ = x$\vec{i}$, $\vec{OA_{2}}$ = y$\vec{j}$. Biểu diễn vectơ $\vec{a}$ theo hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$. 

Hướng dẫn giải:

$\vec{a}$ = $x\vec{i}$ + $y\vec{j}$

Tọa độ một điểm

Khám phá 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ $\vec{OM}$

Hướng dẫn giải:

$\vec{OM}$ = {x; y}

Thực hành 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

a. Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

b. Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{OD}$, $\vec{OE}$, $\vec{OF}$.

c. Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$ lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Hướng dẫn giải:

a.

b. Do D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0) nên $\vec{OD}$ = (-1; 4), $\vec{OE}$ = (0; -3), $\vec{OF}$ = (5; 0)

c. $\vec{i}$ = (1; 0), $\vec{j}$ = (0; 1)

Vận dụng 1: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc $30^{\circ}$ (Hình 7).

a. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

b. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$.

c. Tìm tọa độ của $\vec{v}$

Hướng dẫn giải:

a. AB = DC = AC.cos$30^{\circ}$ = 240.cos$30^{\circ}$ = 120$\sqrt{3}$ (km)

BC = AD = AC.sin$30^{\circ}$ = 240.sin$30^{\circ}$ = 120 (km)

b. $\vec{v}$ = 120$\sqrt{3}$$\vec{i}$ + 120$\vec{j}$

c. $\vec{v}$(120$\sqrt{3}$; 120)

2. BIỂU ĐỒ TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Khám phá 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\vec{a}$ = ($a_{1}$; $a_{2}$), $\vec{b}$ = ($b_{1}$; $b_{1}$; $b_{2}$) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ theo hai vectơ $\vec{i}$, $\vec{j}$ như sau: $\vec{a}$ = $a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$; $\vec{b}$ = $b_{1}$$\vec{i}$ + $b_{2}$$\vec{j}$.

a. Biểu diễn từng vectơ: $\vec{a}$ + $\vec{b}$, $\vec{a}$ - $\vec{b}$, k$\vec{a}$ theo hai vectơ $\vec{i}$, $\vec{j}$.

b. Tìm $\vec{a}$. $\vec{b}$ theo tọa độ của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$ + $b_{1}$$\vec{i}$ + $b_{2}$$\vec{j}$ = ($a_{1}$ + $b_{1}$)$\vec{i}$ + ($a_{2}$ + $b_{2}$)$\vec{j}$ 

$\vec{a}$ - $\vec{b}$ = $a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$ - $b_{1}$$\vec{i}$ - $b_{2}$$\vec{j}$ = ($a_{1}$ - $b_{1}$)$\vec{i}$ + ($a_{2}$ - $b_{2}$)$\vec{j}$ 

k$\vec{a}$ = k($a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$) = k$a_{1}$$\vec{i}$ + k$a_{2}$$\vec{j}$

b. $\vec{a}$. $\vec{b}$ = ($a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$)($b_{1}$$\vec{i}$ + $b_{2}$$\vec{j}$) = $a_{1}$$\vec{i}$. $b_{1}$$\vec{i}$ + $a_{1}$$\vec{i}$. $b_{2}$$\vec{j}$ + $a_{2}$$\vec{j}$. $b_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$. $b_{2}$$\vec{j}$

= $a_{1}$$b_{1}$$\vec{i}^{2}$ + $a_{1}$$b_{2}$$\vec{i}$$\vec{j}$ + $a_{2}$.$b_{1}$$\vec{i}$$\vec{j}$ + $a_{2}$$b_{2}$$\vec{j}^{2}$ 

= $a_{1}$$b_{1}$.$1^{2}$ + $a_{1}$$b_{2}$.$\vec{0}$+ $a_{2}$.$b_{1}$.$\vec{0}$ + $a_{2}$$b_{2}$.0$1^{2}$ (vì $\vec{i}$ $\perp$ $\vec{j}$)

= $a_{1}$$b_{1}$ + $a_{2}$$b_{2}$

Thực hành 2. Cho hai vectơ $\vec{m}$ = (-6; 1), $\vec{n}$ = (0; -2)

a. Tìm tọa độ các vectơ $\vec{m}$ + $\vec{n}$, $\vec{m}$ - $\vec{n}$, 10$\vec{m}$, -4$\vec{n}$

b. Tính các tích vô hướng $\vec{m}$. $\vec{n}$, (10$\vec{m}$). (-4$\vec{n}$).

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{m}$ + $\vec{n}$ = (-6 + 0; 1 - 2) = (-6; -1)

$\vec{m}$ - $\vec{n}$ = (-6 - 0; 1 + 2) = (-6; 3)

10$\vec{m}$ = (10. (-6); 10. 1) = (-60; 10)

-4$\vec{n}$ = (-4. 0; -4.(-2)) = (0; 8)

b. $\vec{m}$. $\vec{n}$ = -6. 0 + 1. (-2) = -2

(10$\vec{m}$).(-4$\vec{n}$) = -60. 0 + 10. 8 = 80

Vận dụng 2: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\vec{v}$ = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\vec{w}$ = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$.

Hướng dẫn giải:

$\vec{v}$ + $\vec{w}$ = (10 +3,5; -8 + 0) = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Khám phá 5: Cho hai điểm A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$). Từ biểu thức $\vec{AB}$ = $\vec{OB}$ - $\vec{OA}$, tìm tọa độ vectơ $\vec{AB}$ theo tọa độ hai điểm A, B.

Hướng dẫn giải:

Vì A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$) nên $\vec{OA}$ = {$x_{A}$; $y_{A}$); $\vec{OB}$ = ($x_{B}$; $y_{B}$)

Ta có: $\vec{AB}$ = $\vec{OB}$ - $\vec{OA}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$; $y_{B}$ - $y_{A}$)

Thực hành 3. Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{FE}$, $\vec{FG}$, $\vec{EG}$.

Hướng dẫn giải:

$\vec{FE}$ = ($x_{E}$ - $x_{F}$; $y_{E}$ - $y_{F}$) = (9 - 8; 9 - (-7)) = (1; 16)

$\vec{FG}$ = ($x_{G}$ - $x_{F}$; $y_{G}$ - $y_{F}$) = (0 - 8; -6 -(-7)) = (-8; 1)

$\vec{EG}$ = ($x_{G}$ - $x_{E}$; $y_{G}$ - $y_{E}$) = (0 - 9; -6 - 9) = (-9; -15)

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Khám phá 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$), C($x_{C}$; $y_{C}$). Gọi M($x_{M}$; $y_{M}$) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G($x_{G}$; $y_{G}$) là trọng tâm của tam giác ABC.

a. Biểu thị vectơ $\vec{OM}$ theo hai vectơ $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$.

b. Biểu thị vectơ $\vec{OG}$ theo hai vectơ $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ và $\vec{OC}$.

c. Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Hướng dẫn giải:

a. Vì M là trung điểm AB nên: $\vec{AM}$ = $\frac{1}{2}$$\vec{AB}$

$\Leftrightarrow$ $\vec{OM}$ - $\vec{OA}$ = $\frac{1}{2}$($\vec{OB}$ - $\vec{OA}$) 

$\Leftrightarrow$ $\vec{OM}$ = $\frac{1}{2}$($\vec{OA}$ + $\vec{OB}$)

b. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 3$\vec{OG}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$

$\Leftrightarrow$ $\vec{OG}$ = $\frac{1}{3}$($\vec{OA}$ + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$)

c. M($\frac{x_{A} + x_{B}}{2}$; $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$); G($\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$; $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$)

Thực hành 4. Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; - 2), R(-4; 9) và S(5; 8).

a. Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $x_{M}$ = $\frac{x_{Q} + x_{S}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = 6; $y_{M}$ = $\frac{y_{Q} + y_{S}}{2 }$ = $\frac{-2 + 8}{2}$ = 3

Vậy M(6; 3)

b. Ta có: $x_{G}$ = $\frac{x_{Q} + x_{R} + x_{S}}{3}$ = $\frac{7 + (-4) + 5}{3}$ = $\frac{8}{3}$; $y_{G}$ = $\frac{y_{Q} + y_{R} + y_{S}}{3}$ = $\frac{-2 + 9 + 8}{3}$ = 5

Vậy G($\frac{8}{3}$; 5)

Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Khám phá 7: Cho hai vectơ $\vec{a}$ = ($a_{1}$; $a_{2}$), $\vec{b}$ = ($b_{1}$; $b_{2}$) và hai điểm A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a. $\vec{a}$ $\perp$ $\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$. $\vec{b}$ = 0 $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{1}$ + $a_{2}$$b_{2}$ = ?

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a_{1} = tb_{1}\\ a_{2} = tb_{2}\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}b_{1} = ka_{1}\\ b_{2} = ka_{2}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{2}$ - $a_{2}$$b_{1}$ = ?

c. |$\vec{a}$| = $\sqrt{(\vec{a})^{2}}$ = $\sqrt{?}$;

d. $\vec{AB}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$; $y_{B}$ - $y_{A}$) $\Rightarrow$ AB = $\sqrt{(\vec{AB})^{2}}$ = $\sqrt{?}$;

e. cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}$ = $\frac{?}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}. \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$).

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{a}$ $\perp$ $\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$. $\vec{b}$ = 0 $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{1}$ + $a_{2}$$b_{2}$ = 0

b. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a_{1} = tb_{1}\\ a_{2} = tb_{2}\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}b_{1} = ka_{1}\\ b_{2} = ka_{2}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{2}$ - $a_{2}$$b_{1}$ = 0

c. |$\vec{a}$| = $\sqrt{(\vec{a})^{2}}$ = $\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$;

d) $\vec{AB}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$; $y_{B}$ - $y_{A}$) $\Rightarrow$ AB = $\sqrt{(\vec{AB})^{2}}$ = $\sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$;

e. cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}$ = $\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}. \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$).

Thực hành 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

a. Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b. Giải tam giác DEF.

Hướng dẫn giải:

a. Xét điểm H(x; y), ta có: $\vec{DH}$ = (x - 2; y - 2), $\vec{EH}$ = (x - 6; y - 2), $\vec{EF}$ = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D, nên ta có:

• $\vec{DH}$. $\vec{EF}$ $\Leftrightarrow$ (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0 $\Leftrightarrow$ -4x + 4y = 0 (1)
• Hai vectơ $\vec{EH}$, $\vec{EF}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ (x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0 $\Leftrightarrow$ 4x + 4y - 32 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}-4x + 4y = 0\\ 4x + 4y - 32 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = 4\\ y = 4\end{matrix}\right.$

Vậy H(4; 4)

b. Ta có: $\vec{DE}$ = (4; 0); $\vec{DF}$ = (0; 4); $\vec{EF}$ = (-4; 4)

$\Rightarrow$ DE = |$\vec{DE}$| = $\sqrt{4^{2} + 0^{2}}$ = 4

DF = |$\vec{DF}$| = $\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ = 4

EF = |$\vec{EF}$| = $\sqrt{(-4)^{2} + 4^{2}}$ = $4\sqrt{2}$

cosD = cos($\vec{DE}$, $\vec{DF}$) = $\frac{\vec{DE}.\vec{DF}}{DE.DF}$ = $\frac{4.0+0.4}{4.4}$ = 0 $\Rightarrow$ $\widehat{D}$ = $90^{\circ}$

Nhận thấy tam giác DEF vuông cân tại D $\Rightarrow$ $\widehat{E}$ = $\widehat{F}$ = $45^{\circ}$

Vận dụng 3. Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; -23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(-10; 20).

a. Tính số đo của $\widehat{BAC}$

b. Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $\vec{AB}$ = (60; 10), $\vec{AC}$ = (42; -43), $\vec{BC}$ = (-18; -53)

Suy ra: AB = |$\vec{AB}$| = $\sqrt{60^{2} + 10^{2}}$ = $10\sqrt{37}$ $\approx$ 60,8

            AC = |$\vec{AC}$| = $\sqrt{42^{2} + (-43)^{2}}$ $\approx$ 60,1

           cos$\widehat{BAC}$ = cos($\vec{AB}$, $\vec{AC}$)= $\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB.AC}$ = $\frac{60. 42 + 10. (-43)}{60,8.60,1}$ $\approx$ = 0,57 $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ $\approx$ $55^{\circ}7'$

b. Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo B là: AB $\approx$ 60,8 (km)

    Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo C là AC $\approx$ 60,1 (km)