Giải câu 7 bài tọa độ của vectơ

a. $\overrightarrow{MP}$ = (3; 1) $\overrightarrow{BN}$ = (3 - $x_B$; 4 - $y_B$)

Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$ MP // BC và MP = $\frac{1}{2}$BC = BN $\Rightarrow$ MPNB là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{MP}$ = $\overrightarrow{BN}$

$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{c}3=3-x_B\\ 1=4-y_B\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_B=0\\ y_B=3\end{array}$ $\Rightarrow$ B(0; 3)

Ta có: N là trung điểm của BC nên  $\{\begin{array}{c}{x}_C=2x_N-x_B\\ y_C=2y_N-y_B\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_C=2.3-0\\ y_C=2.4-3\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_C=6\\ y_C=5\end{array}$

$\Rightarrow$ C(6; 5)

Ta có: M là trung điểm của AB nên  $\{\begin{array}{c}{x}_A=2x_M-x_B\\ y_A=2y_M-y_B\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_A=2.2-0\\ y_A=2.2-3\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_A=4\\ y_A=1\end{array}$

$\Rightarrow$ A(4; 1)

Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: 

$\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{4+0+6}{3}\\ y_G=\frac{1+3+5}{3}\end{array}$ $\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{10}{3}\\ y_G=3\end{array}$  $\Rightarrow$ G($\frac{10}{3}$; 3)             (1)

Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_{G^{\prime }}=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}\\ y_{G^{\prime }}=\frac{y_M+y_N+y_P}{3}\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_{G^{\prime }}=\frac{2+3+5}{3}\\ y_{G^{\prime }}=\frac{2+4+3}{3}\end{array}$ $\{\begin{array}{c}{x}_{G^{\prime }}=\frac{10}{3}\\ y_{G^{\prime }}=3\end{array}$  $\Rightarrow$ G'($\frac{10}{3}$; 3)            (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ G $\equiv$ G'

Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.

c. Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (-4; 2); $\overrightarrow{AC}$ = (2; 4); $\overrightarrow{BC}$ = (6; 2)

Suy ra: AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{(-4{)}^2+2^2}$ = $2\sqrt{5}$

            AC = |$\overrightarrow{AC}$| = $\sqrt{2^2+4^2}$ = $2\sqrt{5}$

            BC = |$\overrightarrow{BC}$| = $\sqrt{6^2+2^2}$ = $2\sqrt{10}$

            cosA = cos($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$) = $\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}$ = $\frac{(-4).2+2.4}{2\sqrt{5}.2\sqrt{5}}$ = 0 $\Rightarrow$ $\hat{A}$ = ${90}^{\circ }$

Xét tam giác ABC có AB = AC (= $2\sqrt{5}$) và $\hat{A}$ = ${90}^{\circ }$

$\Rightarrow$ Tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow$ $\hat{B}$ =  $\hat{C}$ = ${45}^{\circ }$