a. $\vec{MP}$ = (3; 1) $\vec{BN}$ = (3 - $x_{B}$; 4 - $y_{B}$)
Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC
$\Rightarrow$ MP // BC và MP = $\frac{1}{2}$BC = BN $\Rightarrow$ MPNB là hình bình hành
$\Rightarrow$ $\vec{MP}$ = $\vec{BN}$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}3 = 3 - x_{B}\\ 1 = 4 - y_{B}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{B}= 0\\ y_{B} = 3\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ B(0; 3)
Ta có: N là trung điểm của BC nên $\left\{\begin{matrix}x_{C}= 2x_{N} - x_{B}\\ y_{C} = 2y_{N} - y_{B}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{C} = 2.3 - 0\\ y_{C} = 2.4-3 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{C}= 6\\ y_{C} = 5 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ C(6; 5)
Ta có: M là trung điểm của AB nên $\left\{\begin{matrix}x_{A}= 2x_{M} - x_{B}\\ y_{A} = 2y_{M} - y_{B}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{A} = 2.2 - 0\\ y_{A} = 2.2-3 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{A}= 4\\ y_{A} = 1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ A(4; 1)
Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}\\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{4+0+6}{3}\\ y_{G} = \frac{1+3+5}{3}\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{10}{3}\\ y_{G} =3\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ G($\frac{10}{3}$; 3) (1)
Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{G'}= \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3}\\ y_{G'} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_{G'}= \frac{2+3+5}{3}\\ y_{G'} = \frac{2+4+3}{3}\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}x_{G'}= \frac{10}{3}\\ y_{G'} =3\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ G'($\frac{10}{3}$; 3) (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ G $\equiv$ G'
Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.
c. Ta có: $\vec{AB}$ = (-4; 2); $\vec{AC}$ = (2; 4); $\vec{BC}$ = (6; 2)
Suy ra: AB = |$\vec{AB}$| = $\sqrt{(-4)^{2} + 2^{2}}$ = $2\sqrt{5}$
AC = |$\vec{AC}$| = $\sqrt{2^{2} + 4^{2}}$ = $2\sqrt{5}$
BC = |$\vec{BC}$| = $\sqrt{6^{2} + 2^{2}}$ = $2\sqrt{10}$
cosA = cos($\vec{AB}$, $\vec{AC}$) = $\frac{\vec{AB}. \vec{AC}}{AB.AC}$ = $\frac{(-4). 2 + 2.4}{2\sqrt{5}. 2\sqrt{5}}$ = 0 $\Rightarrow$ $\widehat{A}$ = $90^{\circ}$
Xét tam giác ABC có AB = AC (= $2\sqrt{5}$) và $\widehat{A}$ = $90^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow$ $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ = $45^{\circ}$