a. Gọi M (xM; yM) => $\overrightarrow{AM}=({{x}_{M}}-2;{{y}_{M}}-3)$ ; $\overrightarrow{BC}=(4;-2)$
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$.
$\left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}-2=4 \\ & {{y}_{M}}-3=-2 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}=6 \\& {{y}_{M}}=1\\\end{align} \right.$
b. Có N là trung điểm của đoạn thẳng AC $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$
Có: $\overrightarrow{AN}=({{x}_{N}}-2;{{y}_{N}}-3)$ ; $\overrightarrow{NC}=(3-{{x}_{N}};-1-{{y}_{N}})$
$\left\{ \begin{align}& {{x}_{N}}-2=3-{{x}_{N}} \\& {{y}_{N}}-3=-1-{{y}_{N}} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{N}}=\frac{5}{2} \\& {{y}_{N}}=1 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow N\left( \frac{5}{2};1\right)$.
$\overrightarrow{BN}=\left( \frac{7}{2};0\right);\overrightarrow{NM}=\left( \frac{7}{2};0\right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$