Giải bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là đạo hàm. Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..

Nội dung bài học gồm 2 phần:

• Lý thuyết cần biết
• Hướng dẫn giải bài tập SGK

A. Lý thuyết cần biết

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm

• Bài toán tìm vận tốc tức thời.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\underset{t\rightarrow t_0 }{lim }\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0} \)được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$

• Bài toán tìm cường độ tức thời.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\underset{t\rightarrow t_0 }{lim }\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0} \)được gọi là cường độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; b)\)và \(x_0\in (a;b)\)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\underset{x\rightarrow x_0 }{lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)tại điểm \(x_0\)và kí hiệu là \(f'(x_0)\)(hoặc \(y'(x_0)\)), tức là:\(f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0 }{lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

Chú ý: 

• Đại lượng \(\Delta x=x-x_0\)được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\).
• Đại lượng \(\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
• Như vậy, \(y'(x_0)=\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

QUY TẮC

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\)là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Bước 3: Tìm \(\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu hàm số \(y=f(x)\)có đạo hàm tại \(x_0\)thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý: 

a. Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số $y=f(x)$ gián đoạn tại $x_0$thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b. Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

ĐỊNH LÍ 2

Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)tại điểm \(x_0\)là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\)của \((C)\)tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\)

Phương trình tiếp tuyến

ĐỊNH LÍ 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\)tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\)là:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

trong đó \(y_0=f(x_0)\)

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Tính vận tốc tức thời
• Tính cường độ tức thời.

II. Đạo hàm trên một khoảng

ĐỊNH NGHĨA

Hàm số \(y=f(x)\)được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\)nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. 

Khi đó, ta gọi hàm số \(f':\begin{matrix}(a;b)\rightarrow \mathbb{R} & \\ x\rightarrow f'(x) & \end{matrix}\)là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)trên khoảng \((a;b)\).

Kí hiệu là $y'$hay $f'(x)$