Giải câu 3 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Giải câu 3 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.

a. Giả sử $∆ x$ là số gia của số đối tại $x_{0} = 1$ .

Ta có: $∆ y = f (1 + ∆ x) - f (1) = (1 + ∆ x)^{2} + (1 + ∆ x) - (1^{2} + 1) = 3 ∆ x + (∆ x)^{2}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 ∆ x + (∆ x)^{2}}{∆ x} = 3 + ∆ x$

$lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (3 + Δ x) = 3$

Vậy $f^{'} (1) = 3$ .

b) Giả sử $∆ x$ là số gia của số đối tại $x_{0} = 2$

Ta có: $∆ y = f (2 + ∆ x) - f (2)$

$= \frac{1}{2 + Δ x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 2 - Δ x}{2 (2 + Δ x)} = - \frac{Δ x}{2 (2 + Δ x)}$ ;

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- \frac{Δ x}{2 (2 + Δ x)}}{Δ x} = - \frac{1}{2 (2 + Δ x)}$

$lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (- \frac{1}{2. (2 + Δ x)}) = - \frac{1}{4}$

Vậy $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ .

c) Giả sử $∆ x$ là số gia của số đối tại $x_{0} = 0$ .

Ta có: $∆ y = f (∆ x) - f (0) = \frac{Δ x + 1}{Δ x - 1} - (- 1) = \frac{∆ x + 1 + ∆ x - 1}{∆ x - 1} = \frac{2 Δ x}{Δ x - 1}$ ;

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{\frac{2 Δ x}{Δ x - 1}}{∆ x} = \frac{2}{Δ x - 1}$

$lim_{Δ x \to 0}$ $\frac{Δ y}{Δ x}$ = $lim_{Δ x \to 0}$ $\frac{2}{Δ x - 1} = - 2$ .

Vậy $f^{'} (0) = - 2$ .