Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Đường trung bình của tam giác, của hình thang. Tính độ dài đoạn thẳng của hình thang. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ thêm đường trung bình để tính góc, tính độ dài đoạn thẳng
Vẽ thêm đường trung bình của một tam giác, của một hình thang bằng một trong ba cách vẽ sau: vẽ thêm trung điểm một đoạn thẳng, vẽ đường thẳng song song, vẽ đường thẳng vuông góc.
Sử dụng:
- Định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang
- Tính chất về góc trong tam giác
- Tính chất hai góc ở vị trí so le hoặc đồng vị của hai đường thẳng song song.
- Trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
- Tính chất góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Ví dụ 1: Tính x, y trên hình.
Hướng dẫn:
Do IP, GK, MH cùng vuông góc với AH nên IP // GK // MH
Lại có AI = IG = GM
$\Rightarrow $ AP = PK = KH, do đó IP là đường trung bình của tam giác AGK; GK là đường trung bình của hình thang IPHM.
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác AGK và hình thang IPHM ta được: GK = 2IP hay 6cm = 2x $\Leftrightarrow $ x = 3cm
GK = $\frac{IP+MH}{2}$ hay $6 = \frac{3+y}{2}\Leftrightarrow y=9$ (cm)
2. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh quan hệ về độ dài
Ta vẽ thêm đường trung bình. Sau đó áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và D là giao điểm của CI và AB. Chứng minh rằng: DA = $\frac{1}{2}$DB; DI = $\frac{1}{4}$DC.
Hướng dẫn:
Do M là trung điểm của BC theo giả thiết nên vẽ thêm E là trung điểm của BD thì BE = ED (1)
Ta được EM là đường trung bình của $\Delta $BCD
Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $BCD, ta được:
ME // DC (2) và DC = 2ME (3)
Từ (2) $\Rightarrow $ ME // DI mà AI = IM theo giả thiết
Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $AME ta được AD = DE (4)
Từ (1) và (4) suy ra AD = DE = EB (5) hay AD = $\frac{1}{2}$DB
Từ (4) và (5) ta có DI là đường trung bình của $\Delta $AEM.
Áp dụng định lí đường trung bình vào $\Delta $AEM ta có ME = 2DI (6)
Thay (6) vào (3) ta được: DC = 2.2DI = 4DI hay DI = $\frac{1}{2}$DC
3. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ta vẽ thêm đường trung bình
Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang
Sử dụng tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó hoặc sử dụng tính chất: Nếu một góc là góc bẹt thì hai cạnh của góc ấy là hai tia đối nhau hay hai cạnh của góc này nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ 3: Cho $\Delta $ABC kéo dài trung tuyến BD đến F sao cho DF = BD và trung tuyến CE đến G sao cho EG = CE. Chứng minh ba điểm G, A, F thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Vì BD, CE là hai trung tuyến của $\Delta $ABC theo giả thiết nên D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB hay AD = DC, AE = EB.
Từ giả thiết DF = BD, EG = CE suy ra ED là đường trung bình của hai tam giác ACG và ABF.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, ta được:
GA // ED và AF // ED
$\Rightarrow $ G, A, F thẳng hàng (vì qua điểm A nằm ngoài đường thẳng ED chỉ có một đường thẳng song song với ED)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho $\Delta $ABC có $\widehat{A}=50^{\circ}$, $\widehat{B}=70^{\circ}$. Các điểm D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác BDEC là hình gì? Tính các góc của nó.
2. Cho $\Delta $AKC cân tại A có đường cao AB. Kẻ BD $\perp $ AC, gọi E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng $AE \perp $ KD
3. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD; AB = 4cm; CD = 10cm; AD = 5cm. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của DE. Gọi H là chân đường cao kẻ từ E đến đường thẳng DC. Tính độ dài CH.
4. Cho $\Delta $ABC, trung tuyến AM. Gọi D là một điểm trên cạnh AC sao cho AD = $\frac{1}{3}$AC, BD cắt AM tại I. Chứng minh AI = IM
5. Cho $\Delta $ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của DE với BC. Chứng minh DI = IE
6. Cho $\Delta $ABC có trung tuyến AM. Qua O là trung điểm của trung tuyến AM kẻ đường thẳng d sao cho d cắt cả hai cạnh AB, AC. Gọi H, K, I lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ các điểm A, B, C đến đường thẳng d. Chứng mỉnh rằng BK + CI = 2AH.
7. Cho $\Delta $ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh DE // HI và DE = HI.
8. Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh bên, trung điểm hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng.
9. Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua hai trung điểm M, N của AB, CD cắt các đường thẳng AD, BC thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng $\widehat{APM}=\widehat{BQM}$