Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó về số lượng các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).

Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó về số lượng các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).

I.Phương pháp giải

Ta chú ý xét đủ các trường hợp:

TH1:  a = 0.

• Nếu $b\ne 0$ thì $y=b{x}^2+c$ là hàm bậc hai nên có đúng một điểm cực trị;
• Nếu $b=0$ thì y = c là hàm hằng nên không có cực trị.

TH2: $a\ne 0$. Trong trường hợp này, hàm đã cho là hàm bậc bốn trùng phương. Hàm số có thể có một hoặc có ba điểm cực trị tùy vào số nghiệm của $y^{{}^{\prime }}$.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số $y=x^4+2m{x}^2+m^2+m$. Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Bài giải:

Ta có: $y^{{}^{\prime }}=4x^3+4mx$. Hàm số có ba điểm cực trị $\iff y^{{}^{\prime }}=0$ có ba nghiệm phân biệt.

$y^{{}^{\prime }}=0\Rightarrow 4x(x^2+m)=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{-m}$ hoặc $x=-\sqrt{-m}$ (m<0).

Vậy với m<0 thì hàm số đã cho có ba nghiệm phân biệt.

Bài tập 2: Tìm những giá trị của tham số m để hàm số $y=(m-1)x^4-2(m-3)x^2+1$ không có điểm cực trị.

Bài giải:

Xét $m-1=0\iff m=1$. Khi đó $y=4x^2+1$, hàm số không có cực trị (thoả mãn).

Xét $m-1\ne 0\iff m\ne 1$.Trong trường hợp này hàm số đã cho là hàm trùng phương nên nó luôn có cực trị.

Vậy m = 1 thì đồ thị hàm số đã cho không có cực trị.