Giải câu 7 bài: Ôn tập chương I

Giải câu 7 bài: Ôn tập chương I.

a) Hàm số $y=x^3+3x^2+1$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

          Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$

• Giới hạn:  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$

                             $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

• Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
• Cực trị: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $(0;1)$.

                         Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $(-2;5)$.

• Đồ thị:

b) Từ đồ thị số nghiệm của phương trình $x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng $y=\frac{m}{2}$

Biện luận: 

• $\frac{m}{2}<1<=>m<2$ => Phương trình có 1 nghiệm.
• $\frac{m}{2}=1<=>m=2$ => Phương trình có 2 nghiệm.
• $1<\frac{m}{2}<5<=>1<m<10$ => Phương trình có 3 nghiệm.
• $\frac{m}{2}>5<=>m>10$ => Phương trình có 1 nghiệm số.

Kết luận:

• Nếu $m<2$ hoặc $m>10$ thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
• Nếu $2<m<10$ phương trình có 3 nghiệm.
• Nếu $m=2$ hoặc $m=10$ thì phương trình có 2 nghiệm.