Giải câu 5 bài: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Giải câu 5 bài: Ứng dụng của tích phân trong hình học.

a) Ta có hoành độ điểm P là: $x_{P} = O P = O M . \cos α = R . \cos α$

=> Phương trình đường thẳng OM là: $y = t a n α . x$

=> Thể tích của khối tròn xoay là: $V = \prod \int_{0}^{R \cos α} x^{2} \tan^{α} d x$

<=> $V = \frac{\prod R^{3}}{3} \sin^{2} α \cos α$

<=> $V = \frac{\prod R^{3}}{3} (\cos α - \cos^{3} α)$ (đvdt)

Vậy thể tích của khối tròn xoay là: $V = \frac{\prod R^{3}}{3} (\cos α - \cos^{3} α)$ (đvdt).

b) Ta có: $V^{'} (α) = \frac{\prod R^{3}}{3} (\sin^{2} α + 3 \cos^{2} α \sin α)$

=> $V^{'} (α) = 0 <=> \frac{\prod R^{3}}{3} (\sin^{2} α + 3 \cos^{2} α \sin α) = 0$

<=> $3 \cos^{2} α - 1 = 0$

<=> $\cos α = \frac{1}{\sqrt{3}}$

<=> $α = \arccos (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Bảng biến thiên:

Hướng dẫn giải câu 5 bài Ứng dụng của tích phân trong hình học

=> Thể tích $V$ là lớn nhất <=> $α = \arccos (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .