Giải câu 1 bài: Ôn tập chương 3.
a) Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi x thuộc K.
Định lý
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì:
- Với mỗi hằng số C, $F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số trên f(x) trên K.
- G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho: $G(x) = F (x) +C$
b)
Định lí 2
- Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:
| $\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$ |
- Hay: $\int udv=uv-\int vdu$ với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$
Ví dụ minh họa:
Tính: $\int x\ln (1+x)dx$ ( Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần )
Lời giải:
Đặt $u= \ln(1+x)$ , $dv= xdx$
=> $du=\frac{1}{1-x}dx$ ,
$v=\frac{x^{2}}{2}
Ta có: $\int x\ln(1+x)dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(1+x)−\int \frac{x^{2}dx}{2(x+1)}$
<=> $\int x\ln(1+x)dx= $\frac{1}{2}(x^{2}-1)\ln(1-x)-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+C$