Giải bài: Ôn tập chương 2 - Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm lôgarit

Chương 2 với nội dung kiến thức về Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm lôgarit. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. Tổng hợp kiến thức

I. Hàm số lũy thừa

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in Z$, $n\in N^{\ast }$. Lũy thừa của a với số mũ r là số $a^r$ xác định bởi:

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

• Ta gọi giới hạn của dãy số $a^{r_n}$ là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$.
• Ký hiệu: $a^{\alpha }$

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{r}_n$

Chú ý:  $1^{\alpha }=1,(\alpha \in R)$

II. Hàm số mũ

Định lí 1

• Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm tại mọi x .

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

• Với hàm hợp, ta có công thức đạo hàm tương tự:

$(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$

Định lí 2

• Hàm số $y=a^x$, $a>0,a\ne 1$ có đạo hàm tại mọi x.

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

• Với hàm hợp, ta có:

$(a^u{)}^{\prime }=a^u\ln a.u^{\prime }$

III. Hàm số Lôgarit

Định lí 3

• Hàm số $y={\log }_{a}x$ ($a>0,a\ne 1$) có đạo hàm tại mọi $x>0$

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

• Đặc biệt: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• Với hàm hợp, ta có công thức tương tự:

$({\log }_{a}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln a}$