Giải bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ

LT-VD 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B}={30}^{\circ }$, $AB=3\mathrm{cm}$. Tính $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $AC=tan{30}^{\circ }\cdot AB=\sqrt{3}$

và $BC=\frac{AB}{cos{30}^{\circ }}=2\sqrt{3}$

• $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=3\cdot 2\sqrt{3}\cdot cos{30}^{\circ }=9$
• $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot cos{60}^{\circ }=3$

LT-VD 2: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a,AH$ là đường cao. Tính:

a. $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{BA}$;

b. $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})={60}^{\circ }$

$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{BA}=|\overrightarrow{CB}|\cdot |\overrightarrow{BA}|\cdot cos(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA})=a\cdot a\cdot cos{60}^{\circ }=\frac{a^2}{2}$

b. $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AH}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=|\overrightarrow{AH}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos{90}^{\circ }=0$

LT-VD 3: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, ta có:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$

Hướng dẫn giải:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$

LT-VD 4: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$

Suy ra $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.

$=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos {90}^{\circ }$

$=A{B}^2+A{C}^2$ (Đpcm)