Giải Bài tập cuối chương IV trang 99

Bài tập 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=4,\widehat{BAC}={120}^{\circ }$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a. Độ dài cạnh $BC$ và độ lớn góc $B$

b. Bán kính đường tròn ngoại tiếp

c. Diện tích của tam giác

d. Độ dài đường cao xuất phát từ $A$

e. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}$ với $M$ là trung điểm của $BC$

Hướng dẫn giải:

a.

• Áp dụng định lý cosin:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.cosA=37$

$\Rightarrow BC=\sqrt{37}$

• Áp dụng định lý sin:

$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$ $\Rightarrow \hat{B}=34,7^{\circ }$

b. $\frac{BC}{sinA}=2R\Rightarrow R=\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$

c. $S=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA=3\sqrt{3}$

d. $S=\frac{1}{2}.AH.BC\Rightarrow AH=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$ (H là chân đường cao)

e.  $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 4\cdot cos120=-6$

Bài tập 2. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

$A={(\sin {20}^{\circ }+\sin {70}^{\circ })}^2+{(\cos {20}^{\circ }+\cos {110}^{\circ })}^2$,

$B=\tan {20}^{\circ }+\cot {20}^{\circ }+\tan {110}^{\circ }+\cot {110}^{\circ }.$

Hướng dẫn giải:

$A=(\sin {20}^{\circ }+\sin {70}^{\circ }{)}^2+(\cos {20}^{\circ }+\cos {110}^{\circ }{)}^2$

$=(\cos {70}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }{)}^2+(\cos {20}^{\circ }+\cos {110}^{\circ }{)}^2$

$=(-\cos {110}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }{)}^2+(\cos {20}^{\circ }+\cos {110}^{\circ }{)}^2$

$=2((cos{20}^{\circ }{)}^2+(cos{110}^{\circ }{)}^2)$

$=2((sin{70}^{\circ }{)}^2+(-cos{70}^{\circ }{)}^2)$

$=2$

$B=\tan {20}^{\circ }+\cot {20}^{\circ }+\tan {110}^{\circ }+\cot {110}^{\circ }$

$=\cot {70}^{\circ }+\tan {70}^{\circ }-\tan {70}^{\circ }-\cot {70}^{\circ }$

$=0$