I. Khái niệm

Hoạt động 1.  So sánh từng cặp tỉ số trong ba tỉ số sau: $\frac{4}{6};\frac{8}{12};\frac{-10}{-15}$

Hướng dẫn giải:

Vì 4.12  = 6.8 nên $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}$

Vì 8.(-15) = 12. (-10) nên $\frac{8}{12}=\frac{-10}{-15}$

Vì 4.(-15) = 6.(-10) nên $\frac{4}{6}=\frac{-10}{-15}$

Luyện tập 1. Viết dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ số: $\frac{1}{4};\frac{8}{32};\frac{13}{54};\frac{-9}{-36}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{8}{32}=\frac{8 : 8}{32 : 8}=\frac{1}{4}$

          $\frac{-9}{-36}=\frac{(-9):(-9)}{(-36):(-9)}=\frac{1}{4}$

=> Như vậy: $\frac{1}{4}= \frac{8}{32} = \frac{-9}{-36}$

II. Tính chất

Hoạt động 2. a) Cho tỉ lệ thức $\frac{6}{10}= \frac{9}{15}$

So sánh hai tỉ số $\frac{6 + 9}{10 + 15}$ và $\frac{6 - 9}{10 - 15}$ với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$ với b + d $\neq $ 0, b = d $\neq $ 0.

Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: $k=\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

- Tính tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ theo k.

- So sánh mỗi tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ với các tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

$\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$

$\frac{9}{15}=\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}$

$\frac{6+9}{10+15}=\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5}$

$\frac{6-9}{10-15}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$

=> $\frac{6+9}{10+15}=\frac{6-9}{10-15}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$

b. Vì: $k=\frac{a}{b}=>a=k.b$; $k=\frac{c}{d}=>c=k.d$

Từ đó ta có:

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{k.b+k.d}{b+d}=\frac{k.(b+d)}{b+d}=k$

$\frac{a-c}{b-d}=\frac{k.b-k.d}{b-d}=\frac{k.(b-d)}{b-d}=k$

=> $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(=k)$

Luyện tập 2. Tìm hai số x,y biết: $x : 1,2 = y : 0,4$ và $x – y = 2$.

Hướng dẫn giải:

Vì $x : 1,2 = y : 0,4$ => $\frac{x}{1,2}=\frac{y}{0,4}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{1,2}=\frac{y}{0,4}$

$=\frac{x - y}{1,2-0,4}=\frac{2}{0,8}=2,5$

=> Như vậy: $x=1,2.2,5=3$; $y=0,4.2,5=1$

Luyện tập 3. Tìm ba số x,y,z biết $x;y;z$ tỉ lệ với ba số 2,3,4 và $x – y – z = 2$

Hướng dẫn giải:

Vì x; y; z tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x-y-z}{2-3-4}=\frac{2}{-5}=\frac{-2}{5}$

=> Như vậy: $x=2.\frac{-2}{5}=\frac{-4}{5}$; $y=3.\frac{-2}{5}=\frac{-6}{5}$; $z=4.\frac{-2}{5}=\frac{-8}{5}$

III. Ứng dụng

Luyện tập 4. Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, vớ các kích thước bể là 12m; 10m; 1,2m. Lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7; 8; 9. Mỗi máy cần bơm bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bơi?

Hướng dẫn giải:

Thể tích bể bơi dạng hình hộp chữ nhật là: V = 12 . 10 . 1,2 = 144 (m3)

Gọi lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: $x; y; z$ (m3) ($x, y, z > 0$) thì tổng lượng nước 3 máy cần bơm là: $x + y + z = 144$

Vì lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7; 8; 9 nên $\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 

$x7=y8=z9=\frac{x+y+z}{7+8+9}=\frac{144}{4}=6$

=> Kết luận: $x = 7.6=42$; $y= 8.6 = 48$; $z= 9.6 = 54$

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Bài 1 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Cho tỉ lệ thức $\frac{x}{7}=\frac{y}{2}$. Tìm hai số x, y biết:

a. $x+y=18$         b. $x-y=20$

Bài 2 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Cho dãy tỉ số bẳng nhau $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$. Tìm ba số $x, y, z$ biết:

a. $x+y+z=180$     b. $x + y + z = 8$ 

Bài 3 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Cho ba số $x; y; z$ sao cho $\frac{x}{3}=\frac{y}{4};\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$

a. Chứng minh: $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$

b. Tìm ba số $x; y; z$ biết $x - y + z= -76$

Bài 4 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Lượng khí carbon đioxide thu vào và lượng oxygen thải ra môi trường của 1 m2 lá cây khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng tỉ lệ với hai số 11 và 8. Tính lượng khí carbon đioxide và lượng oxygen mà 1 m2 lá cây đã thu vào và thải ra môi trường khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng, biết lượng khí carbon đioxide lá cây thu vào nhiều hơn lượng oxygen lá cây thải ra môi trường là 8 g.

Bài 5 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng $\frac{3}{5}$ và chu vi bằng 48m. Tính diện tích của mảnh vườn đó.

Bài 6 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Trong đợt quyên góp ủng hộ các bạn vùng lũ lụt, số sách mà ba lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được tỉ lệ với ba số 5; 6; 8. Tính số sách cả ba lớp đã quyên góp, biết số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là 24 quyển.

Bài 7 trang 58 toán 7 tập 1 CD

Trên quần đảo Trường Sa của Việt Nam, cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u là những loại cây có sức sống mãnh liệt, chịu đựng được tàn phá của thiên nhiên, biển mặn và có thời gian sinh trưởng lâu. Nhân ngày Tết trồng cây, các chiến sĩ đã trồng tổng cộng 192 cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u trên các đảo. Số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5; 4; 3. Tính số cây các chiến sĩ đã trồng mỗi loại.