Giải bài 6 Dãy số bằng nhau

I. Khái niệm

Hoạt động 1.  So sánh từng cặp tỉ số trong ba tỉ số sau: $\frac{4}{6};\frac{8}{12};\frac{-10}{-15}$

Hướng dẫn giải:

Vì 4.12  = 6.8 nên $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}$

Vì 8.(-15) = 12. (-10) nên $\frac{8}{12}=\frac{-10}{-15}$

Vì 4.(-15) = 6.(-10) nên $\frac{4}{6}=\frac{-10}{-15}$

Luyện tập 1. Viết dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ số: $\frac{1}{4};\frac{8}{32};\frac{13}{54};\frac{-9}{-36}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{8}{32}=\frac{8 : 8}{32 : 8}=\frac{1}{4}$

          $\frac{-9}{-36}=\frac{(-9):(-9)}{(-36):(-9)}=\frac{1}{4}$

=> Như vậy: $\frac{1}{4}= \frac{8}{32} = \frac{-9}{-36}$

II. Tính chất

Hoạt động 2. a) Cho tỉ lệ thức $\frac{6}{10}= \frac{9}{15}$

So sánh hai tỉ số $\frac{6 + 9}{10 + 15}$ và $\frac{6 - 9}{10 - 15}$ với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$ với b + d $\neq $ 0, b = d $\neq $ 0.

Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: $k=\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

- Tính tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ theo k.

- So sánh mỗi tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ với các tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

$\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$

$\frac{9}{15}=\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}$

$\frac{6+9}{10+15}=\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5}$

$\frac{6-9}{10-15}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}$

=> $\frac{6+9}{10+15}=\frac{6-9}{10-15}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$

b. Vì: $k=\frac{a}{b}=>a=k.b$; $k=\frac{c}{d}=>c=k.d$

Từ đó ta có:

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{k.b+k.d}{b+d}=\frac{k.(b+d)}{b+d}=k$

$\frac{a-c}{b-d}=\frac{k.b-k.d}{b-d}=\frac{k.(b-d)}{b-d}=k$

=> $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(=k)$

Luyện tập 2. Tìm hai số x,y biết: $x : 1,2 = y : 0,4$ và $x – y = 2$.

Hướng dẫn giải:

Vì $x : 1,2 = y : 0,4$ => $\frac{x}{1,2}=\frac{y}{0,4}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{1,2}=\frac{y}{0,4}$

$=\frac{x - y}{1,2-0,4}=\frac{2}{0,8}=2,5$

=> Như vậy: $x=1,2.2,5=3$; $y=0,4.2,5=1$

Luyện tập 3. Tìm ba số x,y,z biết $x;y;z$ tỉ lệ với ba số 2,3,4 và $x – y – z = 2$

Hướng dẫn giải:

Vì x; y; z tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x-y-z}{2-3-4}=\frac{2}{-5}=\frac{-2}{5}$

=> Như vậy: $x=2.\frac{-2}{5}=\frac{-4}{5}$; $y=3.\frac{-2}{5}=\frac{-6}{5}$; $z=4.\frac{-2}{5}=\frac{-8}{5}$

III. Ứng dụng

Luyện tập 4. Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, vớ các kích thước bể là 12m; 10m; 1,2m. Lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7; 8; 9. Mỗi máy cần bơm bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bơi?

Hướng dẫn giải:

Thể tích bể bơi dạng hình hộp chữ nhật là: V = 12 . 10 . 1,2 = 144 (m³)

Gọi lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: $x; y; z$ (m³) ($x, y, z > 0$) thì tổng lượng nước 3 máy cần bơm là: $x + y + z = 144$

Vì lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7; 8; 9 nên $\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 

$x7=y8=z9=\frac{x+y+z}{7+8+9}=\frac{144}{4}=6$

=> Kết luận: $x = 7.6=42$; $y= 8.6 = 48$; $z= 9.6 = 54$