LT-VD 1: Cho tam giác $A B C$. Hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ cắt nhau tại $G$.
Tìm các số $a, b$ biết:$\overrightarrow{A G}=a \overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{G N}=b \overrightarrow{G B}$
Hướng dẫn giải:
- Ta có: $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $|\overrightarrow{AG}|=\frac{2}{3} |\overrightarrow{AM}|$. Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}$. Vậy $a=2$.
- Ta có: $\overrightarrow{GN}, \overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $|\overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{GB}|$. Suy ra $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{GB}$. Vậy $b=-\frac{1}{2}$.
LT-VD 2: Cho ba điểm $A, B, C$. Chứng minh
$3(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C})-2(\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{B C}) =\overrightarrow{A B}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $3(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C})-2(\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{B C})$
$= 3\overrightarrow{A B}+6 \overrightarrow{B C}-2\overrightarrow{A B}-6 \overrightarrow{B C}$
$=\overrightarrow{A B}$ (đpcm).
LT-VD 3: Cho tam giác $A B C$ có $G$ là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A G}$
Hướng dẫn giải:
- Cách 1:
Ta có:
$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$
$\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CM}= \overrightarrow{AM}$
Cộng vế với vế: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AM}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ (chứng minh ở Luyện tập 1)
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).
- Cách 2: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$
$=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$
$=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$
$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$
$=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).
LT-VD 4: Ở Hình 61, tìm $k$ trong mối trường hợp sau:
a. $\overrightarrow{A C}=k \overrightarrow{A D}$
b. $\overrightarrow{B D}=k \overrightarrow{D C}$.
Hướng dẫn giải:
a. Từ hình vẽ, $AC=\frac{3}{4}AD$
$\Rightarrow\overrightarrow{A C}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$ (hai vectơ cùng hướng)
$\Rightarrow k=\frac{3}{4}$
b. Từ hình vẽ, $BD=3CD$
$\Rightarrow\overrightarrow{BD}=-3 \overrightarrow{DC}$ (hai vectơ ngược hướng)
$\Rightarrow k=-3$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 1. Cho hình thang $M N P Q, M N / / P Q, M N=2 P Q$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{M N}=2 \overrightarrow{P Q}$.
B. $\overrightarrow{M Q}=2 \overrightarrow{N P}$.
C. $\overrightarrow{M N}=-2 \overrightarrow{P Q}$.
D. $\overrightarrow{M Q}=-2 \overrightarrow{N P}$.
Bài tập 2. Cho đoạn thẳng $A B=6 \mathrm{~cm}$.
a. Xác định điểm $C$ thoả mãn $\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$.
b. Xác định điểm $D$ thoả mãn $\overrightarrow{A D}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$.
Bài tập 3. Cho tam giác $A B C$ có $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Chứng minh:
a. $\overrightarrow{A P}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A N}$;
b. $\overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{B A}$.
Bài tập 4. Cho tam giác $A B C$. Các điểm $D, E$ thuộc cạnh $B C$ thoả mãn $B D=D E=E C$ (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{A B}=\vec{a}$, $\overrightarrow{A C}=\vec{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{B E}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$.
Bài tập 5. Cho tứ giác $A B C D$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $A B$ và $C D$. Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N, E$ là trọng tâm tam giác $B C D$. Chứng minh:
a. $\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{E D}=4 \overrightarrow{E G}$;
b. $\overrightarrow{E A}=4 \overrightarrow{E G}$;
c. Điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $A E$ và $\overrightarrow{A G}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A E}$.
Bài tập 6. Cho hình bình hành $A B C D$. Đặt $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{A G}, \overrightarrow{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$.
Bài tập 7. Cho tam giác $A B C$. Các điểm $D, E, H$ thoả mãn
$\overrightarrow{D B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A H}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}.$
a. Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{D H}, \overrightarrow{H E}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b. Chứng minh $D, E, H$ thẳng hàng.