Giải bài 5 Tích của một số với một vectơ

LT-VD 1: Cho tam giác $ABC$. Hai đường trung tuyến $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $G$.

Tìm các số $a,b$ biết:$\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$

Hướng dẫn giải:

• Ta có: $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $|\overrightarrow{AG}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AM}|$. Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Vậy $a=2$.

• Ta có: $\overrightarrow{GN},\overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $|\overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{GB}|$. Suy ra $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$. Vậy $b=-\frac{1}{2}$.

LT-VD 2: Cho ba điểm $A,B,C$. Chứng minh

$3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})$

$=3\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}$ (đpcm).

LT-VD 3: Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$

Hướng dẫn giải:

• Cách 1:

Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}$

Cộng vế với vế: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AM}$

$\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ (chứng minh ở Luyện tập 1)

$\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).

• Cách 2: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$

$=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).

LT-VD 4: Ở Hình 61, tìm $k$ trong mối trường hợp sau:

a. $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AD}$

b. $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{DC}$.

Hướng dẫn giải:

a. Từ hình vẽ, $AC=\frac{3}{4}AD$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$  (hai vectơ cùng hướng)

$\Rightarrow k=\frac{3}{4}$

b. Từ hình vẽ, $BD=3CD$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-3\overrightarrow{DC}$ (hai vectơ ngược hướng)

$\Rightarrow k=-3$