Giải câu 7 bài tích của một số với một vectơ

a.

• $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB} $

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

• $\overrightarrow{D H}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AH}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
• $\overrightarrow{H E}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AE}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$

b. Ta có:

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{D H}$

Vậy $D, E, H$ thẳng hàng.