Giải bài 2: Mặt cầu

Bài học với nội dung: Mặt cầu. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn .

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm mặt cầu

1. Khái niệm

• Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng $r$, ($r>0$) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính $r$.
• Ký hiệu:

$S(O;r)$

• CD được gọi là dây cung <=> hai điểm C, D nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
• AB được gọi là đường kính mặt cầu <=> dây cung AB đi qua tâm O.
• $AB=2r$.

2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu

Cho $S(O;r)$ và A là điểm bất kì trong không gian.

• $OA=r$ => A nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
• $OA<r$ => A nằm trong mặt cầu $S(O;r)$.
• $OA>r$ => A nằm ngoài mặt cầu $S(O;r)$.

==> Kết luận:  

• Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu $S(O;r)$ cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính $r$.

3. Cách biểu diễn mặt cầu

• Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng.
• Hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

• Kinh tuyến mặt cầu là đường giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu.
• Vĩ tuyến mặt cầu là đường giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục.
• Hai cực mặt cầu là hai giao điểm của mặt cầu với trục.

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho $S(O;r)$ và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).

=>$h=OH$ là khoảng cách từ O tới (P).

1. Khi $h>r$

Với M là một điểm bất kì trên (P) => $OM \geq OH$

=> $OM >r$ hay $\forall M \in (P)$.

==> Kết luận: (P) không cắt $S(O;r)$.

 

2. Khi $h=r$

• Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với $S(O;r)$ tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H.

 

 

3. Khi $h<r$

Ta có: $r'=\sqrt{r^{2}-h^{2}}=MH$

=> $M \in (P)$.

• Khi $h=0$ => Tâm O của mặt cầu thuộc (P).

=> Giao tuyến của (P) và $S(O;r)$ là đường tròn tâm O bán kính $r$.  ( gọi là đường tròn lớn ).

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu

Cho $S(O;r)$ và đường thẳng $\Delta $. H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên $\Delta $ và $d= OH$ là khoảng cách từ O tới $\Delta $.

1. Khi $d>r$

$\Delta $ không cắt $S(O;r)$.

=> $M\forall M \in \Delta$ đều nằm ngoài $S(O;r)$.

2. Khi $d=r$

• Điều kiện cần và đủ để $\Delta $ tiếp xúc với $S(O;r)$ tại H là $\Delta $ vuông góc với bán kính OH tại H.

 

3. Khi $d<r$

Ta có: $\Delta $ cắt $S(O;r)$ tại hai điểm M và N.

=> Hai điểm M và N là giao điểm của $\Delta $ với đường tròn giao tuyến của $S(O;r)$ và mặt phẳng $(O,\Delta )$.

Đặc biệt: 

• Khi $d=0$ => $\Delta $ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.

=> AB là đường kính của mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu

• Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

$S=4\prod r^{2}$

• Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

$V=\frac{4}{3}\prod r^{3}$