Giải bài 17 Dấu của tam thức bậc hai

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Hoạt động 1: Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = $0,5x^{2}$             B = $1-x^{2}$          C = $x^{2}+x+1$                   D = (1-x)(2x+1).

Hướng dẫn giải:

Các biểu thức đểu có dạng: $ax^{2}+bx+1$, với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Luyện tập 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai      

A = $3x+2\sqrt{x}+1$                               B = $-5x^{4}+3x^{2}+4$

C = $-\frac{2}{3}x^{2}+7x-4$                    D = $\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+2\frac{1}{x}+3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Hoạt động 2: Cho hàm số bậc hai $y=f(x)=x^{2}-4x+3$.

a. Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b. Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng $(-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )$, đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c. Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Hướng dẫn giải:

a. a = 1

• $f(0)=0^{2}-4.0+3=3$, cùng dấu với a
• $f(1)=1^{2}-4.1+3=0$, không mang dấu
• $f(2)=2^{2}-4.2+3=-1$, trái dấu với a
• $f(3)=3^{2}-4.3+3=0$, không mang dấu.
• $f(4)=4^{2}-4.4+3=3$, cùng dấu với a

b.

• $(-\infty ;1)$: đồ thị nằm phía trên trục hoành.
• (1; 3): đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
• $(3;+\infty )$: đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c.

• $(-\infty ;1)$: f(x) và hệ số a cùng dấu.
• (1; 3): f(x) và hệ số a trái dấu.
• $(3;+\infty )$: f(x) và hệ số a cùng dấu.

Hoạt động 3: Cho đồ thị hàm số $y=g(x)=-2x^{2}+x+3$ như Hình 6.18.

a. Xét trên từng khoảng $(-\infty ;1);\left (-1;\frac{3}{2}\right );\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$, đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?

b. Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Hướng dẫn giải:

a.

• $(-\infty ;1)$: đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
• $\left (-1;\frac{3}{2}\right )$: đồ thị nằm phía trên trục hoành.
• $\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$: đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

b.

• $(-\infty ;1)$: f(x) và hệ số a cùng dấu.
• $\left (-1;\frac{3}{2}\right )$: f(x) và hệ số a trái dấu.
• $\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$: f(x) và hệ số a cùng dấu.

Hoạt động 4: Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:

• Trường hợp a > 0

• Trường hợp a < 0

Hướng dẫn giải:

• Trường hợp a < 0

	$\Delta $ < 0	$\Delta $ = 0	$\Delta $ > 0
Vị trị của đồ thị so với trục Ox	Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox	Đồ thị nằm phía dưới trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x=\frac{-b}{2a}$	- Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi x <x 1 hoặc x> x 2 - Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi x1 < x < x2

Luyện tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a. $-3x^{2}+x-\sqrt{2}$

b. $x^{2}+8x+16$

c. $-2x^{2}+7x-3$

Hướng dẫn giải:

a. Xét f(x) =$-3x^{2}+x-\sqrt{2}$ có $\Delta =1-12\sqrt{2}<0$ và a = -3 < 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b. Xét g(x) = $x^{2}+8x+16$ có $ \Delta =0$ và a = 1 > 0 nên g(x) có nghiệm kép x = -4 và g(x) > 0 với mọi x $\neq -4$.

c. Xét h(x) = $-2x^{2}+7x-3$ có $ \Delta = 25>0$, a = 1 > 0 và có hai nghiệm phân biệt $x_{1}=3; x_{2}= 0,5$

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra h(x) > 0 với mọi $x\in (0,5; 3)$ và h(x) < 0 với mọi $x\in (-\infty ;0,5)\cup (3;+\infty )$

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Hoạt động 5: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m2, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = $ -2x^{2}+2-x$ với 48.

Hướng dẫn giải:

$-2x^{2}+2-x\leq 48$.

Luyện tập 3: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a. $-5x^{2}+x-1\leq 0$       b. $x^{2}-8x+16\leq 0 $           c. $x^{2}-x+6> 0 $ 

Hướng dẫn giải:

a. Tam thức f(x) = $-5x^{2}+x-1$ có $ \Delta = -19<0$, a = -5 < 0 nên f(x) luôn âm. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = $\mathbb{R}$

b. Tam thức f(x) = $x^{2}-8x+16$ có $ \Delta =0$ và a = 1 > 0 nên f(x) $\geq >0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

c. Tam thức f(x) = $x^{2}-x+6$ $ \Delta = -23<0$, a = 1 > 0 nên f(x) luôn dương. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = $\mathbb{R}$

Vận dụng: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lê theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm só bậc hai h(t) = $-4,9t^{2}+20t+1$, ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Hướng dẫn giải:

Ta xét bất phương trình: $-4,9t^{2}+20t+1 > 5$

$\Leftrightarrow -4,9t^{2}+20t -4>0$

Xét tam thức f(x) = $-4,9t^{2}+20t -4$ có $ \Delta = \frac{1608}{5}> 0$ , a = -4,9 < 0, có hai nghiệm $t_{1}\approx 3,87$ và $t_{2}\approx 0,21$.

Khoảng thời điểm để trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất là 0,21< x< 3,87.