Giải bài 18 Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$

Hoạt động 1: Cho phương trình $\sqrt{x^{2}-3x+2}=\sqrt{-x^{2}-2x+2}$

a. Bình phương hai vế phương trình để khử căn và giải phương trình bậc hai nhận được.

b. Thử lại các giá trị tìm được ở câu a có thỏa mãn phương trình đã cho hay không.

Hướng dẫn giải:

a. $x^{2}-3x+2 = -x^{2}-2x+2$

$\Leftrightarrow $ $2x^{2}-x=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=0$.

b. Các giá trị thỏa mãn phương trình đã cho.

Luyện tập 1: Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt{3x^{2}-6x+1}=\sqrt{-2x^{2}-9x+1}$

b. $\sqrt{2x^{2}-3x-5}=\sqrt{x^{2}-7}$ 

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt{3x^{2}-6x+1}=\sqrt{-2x^{2}-9x+1}$  

Bình phương hai vế của phương trình ta được:
$3x^{2}-6x+1= -2x^{2}-9x+1$

$\Leftrightarrow $ $5x^{2}+3x =0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$ hoặc $x=0$

Thử lại các giá trị vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{-3}{5}$ hoặc $x=0$

b. $\sqrt{2x^{2}-3x-5}=\sqrt{x^{2}-7}$ 

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$2x^{2}-3x-5 = x^{2}-7$

$\Leftrightarrow $ $x^{2}-3x+2 = 0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=1$

Thử lại các giá trị vào phương trình ban đầu ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$    

Hoạt động 2: Cho phương trình $\sqrt{26x^{2}-63x+38}= 5x-6$ 

a. Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.

b. Thử lại các giá trị x tìm được ở câu a có thỏa mãn phương trình đã cho hay không.

Hướng dẫn giải:

a. $26x^{2}-63x+38 = 25x^{2}-60x+36$

$\Leftrightarrow$ $x^{2}-3x+2=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc x= 1.

b. Thử lại ta có: 

• x = 1 không thỏa mãn phương trình đã cho.
• x =2 thỏa mãn phương trình đã cho.

Luyện tập 2: Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt{2x^{2}+x+3}= 1-x$            b. $\sqrt{3x^{2}-13x+14}= x-3$ 

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt{2x^{2}+x+3}= 1-x$ 

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$2x^{2}+x+3= 1 -2x +x^{2}$

$\Leftrightarrow$ $x^{2}+3x+2=0$

$\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=-1$

Thử lại các giá trị đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x = -2$ hoặc $x = -1$

b. $\sqrt{3x^{2}-13x+14}= x-3$ 

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$3x^{2}-13x+14= x^{2}-6x+9$

$\Leftrightarrow$ $x^{2}-7x+5=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5}{2}$

Thử lại các giá trị 

• x = 1 không thỏa mãn phương trình.
• $x = \frac{5}{2}$ không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Vận dụng: Bác Việt sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển 4 km. Hằng tuần bác chèo thuyền vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bính để nhận hàng hóa do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn nằm ở thôn Hoành, bên bờ biển cách bến Bính 9,25 km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bính bằng xe kéo. Bác Việt đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó giữa bến Bính và thôn Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Tìm vị trí hai người dự định gặp nhau, biết rằng vận tốc kéo xe của anh nam là 5 km/h và thuyền của bác Việt di chuyển với vận tốc 4 km/h. Ngoài ra giả thiết rằng đường bờ biển từ thôn Hoành đến bến Bính là đường thẳng và bác Việt cũng luôn chèo thuyền tới một điểm trên bờ biển theo một đường thẳng.

Hướng dẫn giải:

Mô hình hóa bài toán theo hướng dẫn của SGK ta có phương trình:

$\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{4}=\frac{9,25-x}{5}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x^{2}+16}=4.(9,25-x)\\ \Rightarrow 25(x^{2}+16)=16.(85,5625-18,5.x+x^{2})\\ \Leftrightarrow 9x^{2}+196x-969=0\\ \Leftrightarrow x_{1}\approx 4,15; x_{2}\approx -26$

Theo điều kiện x > 0, nên ta có x = 4,15.

Vậy vị trí hai người dự định gặp nhau cách bến Bính (điểm B) 4,15 km.