Giải bài 1 Dấu của tam thức bậc hai

KHỞI ĐỘNG

Cầu vòm được thiết kế với thanh vòm hình Parabol và mặt cầu ở đi ở giữa. Trong hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, phương trình của vòm cầu 

$y=h(x)=-0,006x^2+1,2x-30$. Với giá trị h(x) như thế nào tại vị trí $x(0\le x\le 200)$, vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu?

Hướng dẫn giải:

• Với giá trị h(x) > 0 thì vòm cầu cao hơn mặt cầu
• Với giá trị h(x) < 0 thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

 

1. TAM THỨC BẬC HAI

Khám phá 1: Đồ thị của hàm số $y=f(x)=-x^2+x+3$ được biểu diễn trong Hình 1.

a. Biểu thức f(x) là đa thức bậc mấy?

b. Xác định dấu của f(2).

Hướng dẫn giải:

a. Biểu thức f(x) là đa thức bậc hai.

b. Có: $f(2)=-2^2+2+3=1>0$

Vậy f(2) mang dấu dương.

Thực hành 1. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.

a.  $f(x)=-2x^2+x-1$

b.  $g(x)=-x^4+2x^2+1$

c. $h(x)=-x^2+\sqrt{2}x-3$

Hướng dẫn giải:

a. Biểu thức $f(x)=-2x^2+x-1$ là một tam thức bậc hai.

$f(2)={2.1}^2+1-1=2>0$ => f(x) dương tại x =  1

b. Biểu thức $g(x)=-x^4+2x^2+1$ không là tam thức bậc hai.

c. $h(x)=-x^2+\sqrt{2}x-3$ là tam thức bậc hai. 

$h(x)=-1^2+\sqrt{2}.1-3=-4+\sqrt{2}\approx -2,6<0$ => h(x) âm tại x = 1.

Thực hành 2. Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai sau:

a. $y=f(x)=2x^2-5x+2$

b. $y=g(x)=-x^2+6x-9$

c. $y=h(x)=4x^2-6x+9$

Hướng dẫn giải:

a. Tam thức bậc hai  $y=f(x)=2x^2-5x+2$ có : 

$\mathrm{\Delta }={(-5)}^2-4.2.2=9$ >0

$\Rightarrow$ f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.2}=2$ và $x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.2}=1$ 

b. Tam thức bậc hai  $y=g(x)=-x^2+6x-9$ có : 

$\mathrm{\Delta }={(6)}^2-4.(-1).(-9)=0$ 

$\Rightarrow$ g(x) có nghiệm kép là: $x_1=x_2=\frac{-6}{2.(-1)}=3$

c. Tam thức bậc hai  $y=h(x)=4x^2-4x+9$ có : 

$\mathrm{\Delta }={(-4)}^2-4.4.9=-128$ < 0 

$\Rightarrow$ g(x) vô nghiệm. 

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Khám phá 2. Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }$.

Các khoảng giá trị của x mà trên đó f(x) cùng dấu với hệ số của x².

Hướng dẫn giải:

• Hình a: $y=f(x)=-x^2+2x-2$ 
• $\mathrm{\Delta }<0$ ; f(x) vô nghiệm
• Có a = -1 < 0; f(x) <0, mọi $x\in \mathbb{R}$
• Hình b: $y=f(x)=-x^2+2x-1$.
• $\mathrm{\Delta }=0$;  f(x)  có nghiệm kép  x₁ = x₂ = 1
• Có a =  -1 <0; f(x) <0, mọi x $x\in \mathbb{R}$\{1}
• Hình c: $y=f(x)=-x^2+2x+3$
• $\mathrm{\Delta }>0$ ; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -1 và x₂ = 3.
• Có: a = -1 < 0; f(x) < 0  khi $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.
• Hình d: $y=f(x)=x^2+6x+10$
• $\mathrm{\Delta }<0$ ; f(x) vô nghiệm.
• Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi $x\in \mathbb{R}$
• Hình e: $y=f(x)=x^2+6x+9$
• $\mathrm{\Delta }=0$ ; f(x) có nghiệm kép  x₁ = x₂ = -3
• Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi $x\in \mathbb{R}$\{-3}
• Hình g: $y=f(x)=x^2+6x+8$
• $\mathrm{\Delta }>0$ ; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -4 và x₂ = -2.
• Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi $x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-2;+\mathrm{\infty })$

Thực hành 3. Xét dấu của các tam thức bậc hai:

a. $f(x)=2x^2-3x-2$ 

b. $g(x)=-x^2+2x-3$

Hướng dẫn giải:

a. $f(x)=2x^2-3x-2$ có: $\mathrm{\Delta }=25$ > 0, hai nghiệm phân biệt là  x₁ = $\frac{-1}{2}$ và x₂ = -2.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong khoảng ($-\mathrm{\infty }$;  $\frac{-1}{2}$ ) $\cup$ ($\frac{-1}{2}$ ; $+\mathrm{\infty }$ ) và âm trong khoảng ($\frac{-1}{2}$ ; 2). 

b. $g(x)=-x^2+2x-3$ có: $\mathrm{\Delta }=-8$ < 0 và a = -1 < 0.

Vậy g(x) âm với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vận dụng: Xét dấu của tam thức bậc hai $h(x)=-0,006x^2+1,2x-30$ trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu.

Hướng dẫn giải:

$y=h(x)=-0,006x^2+1,2x-30$  có: $\mathrm{\Delta }=\frac{18}{25}>0$ hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-1,2+\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}=\frac{-6+3\sqrt{2}}{5}.\frac{250}{-3}=100-50\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-1,2-\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}=\frac{-6-3\sqrt{2}}{5}.\frac{250}{-3}=100+50\sqrt{2}$.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi $x\in (100-50\sqrt{2};100+50\sqrt{2})$ và thấp hơn mặt cầu khi $x\in (-\mathrm{\infty };100-50\sqrt{2})\cup (100+50\sqrt{2};+\mathrm{\infty })$