Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm bất đẳng thức và bất phương trình. Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 1: Bất đẳng thức. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..
Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
I. Ôn tập, nhắc lại kiến thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề $"a < b\Rightarrow c<d"$đúng thì ta nói bất đẳng thức \(c<d\)là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a<b\)
và cũng viết là $"a < b\Rightarrow c<d"$
3. Tính chất của bất đẳng thức
Tính chất | Tên gọi | |
Điều kiện | Nội dung | |
$a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$ | Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số | |
$c>0$ | $a<b\Leftrightarrow ac<bc$ | Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số |
$c<0$ | $a<b\Leftrightarrow ac>bc$ | |
$a<b$và $c<d\Rightarrow a+c<b+d$ | Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều | |
$a>0,c>0$ | $a<b$và $c<d\Rightarrow ac<bd$ | Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều |
$n\in \mathbb{N}^{*}$ | $a<b\Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1}$ | Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa |
$n\in \mathbb{N}^{*}$và $a>0$ | $a<b\Leftrightarrow a^{2n}<b^{2n}$ | |
$a>0$ | $a<b\Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$ | Khai căn hai vế của một bất đẳng thức |
$a<b\Leftrightarrow \sqrt[3] a<\sqrt[3] b$ | ||
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô - si)
1. Bất đẳng thức Cô - si
ĐỊNH LÍ
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}, \forall a, b \geq 0.\) (1)
Đẳng thức \(\sqrt{ab} = \frac{a+b}{2}\)xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
2. Các hệ quả
HỆ QUẢ 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
$a+\frac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$
HỆ QUẢ 2
Nếu $x, y$ cùng dương và có tổng không đổi thì tích $xy$lớn nhất khi và chỉ khi $x=y$
III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
| Điều kiện | Nội dung |
| $|x|\geq 0, |x| geq x, |x| \geq -x$ | |
| $a>0$ | $|x| \leq a\Leftrightarrow -a\leq x \leq a$ |
| $|x| \geq a\Leftrightarrow x \leq -a$hoặc $x \geq a$ | |
| $|a|-|b|\leq |a+b| \leq |a|+|b|$ |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: trang 79 sgk Đại số 10
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của $x$?
a. $8x>4x$
b. $4x>8x$
c. $8x^2>4x^2$
d. $8+x>4+x$
Câu 2: trang 79 sgk Đại số 10
Cho số $x>5$,số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?
| $A=\frac{5}{x}$ | $B=\frac{5}{x}+1$ | $C=\frac{5}{x}-1$ | $D=\frac{x}{5}$ |
Câu 3: trang 79 sgk Đại số 10
Cho $a, b, c$là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a. Chứng minh $(b-c)^2<a^2$
b. Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).$
Câu 4: trang 79 sgk Đại số 10
Chứng minh rằng:
$x^3+y^3\geq x^2y+xy^2, \forall x\geq 0, \forall y\geq 0$
Câu 5: trang 79 sgk Đại số 10
Chứng minh rằng:
$x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt x+1>0, \forall x \geq 0$
Hướng dẫn: Đặt $\sqrt{x}=t$, xét hai trường hợp $0\leq x < 1; x \geq 1.$
Câu 6: trang 79 sgk Đại số 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ điểm A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.