Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số.
I. Phương pháp giải:
Cho I là một khoảng, một đoạn hoặc một khoảng.
- Số nghiệm của phương trình $f(x)=m $ là số điểm chung của đường thẳng $y=m$ với đồ thị hàm số $y=f(x).$
- Nếu hàm số $y=f(x)$ đơn điệu trên I thì phương trình $f(x)=m $ có tối đa một nghệm trên I.
- Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên I, hàm số $y=g(x)$ nghịch biến trên I thì phương trình $f(x)=g(x) $ có tối đa một nghệm trên I.
- Nếu hàm số $y=f(t)$ đơn điệu trên I và u, v thuộc I thì phương trình $f(u)=f(v) $ tương đương với $u=v.$
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm nghiệm của phương trình $5^x-4^x=1.$
Bài giải: Ta có,
$5^x-4^x=1\Leftrightarrow 5^x=4^x+1\Leftrightarrow (\frac{4}{5})^x+(\frac{1}{5})^x=1.$ (1)
Ta thấy, hàm số ở vế trái là hàm số nghịch biến, vế phải là hằng số. Nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Mà $x=1$ là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=1.$
Bài tập 2: Tính tổng $T$ tất cả các nghiệm thực của phương trình $2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}=3.(\frac{2}{3})^x.$
Bài giải: ĐKXD: $x\in [0;1]$. Ta xét từng vế của phương trình:
- Xét hàm $f(x)=2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}$. Ta có $y'=\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2. \sqrt{1-x}} >0$, $\forall x\in (0; 1)$. Vậy $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;1]$.
- Vế phải của phương trình nghịch biến.
Bài tập 3: Phương trình $2^{\sin^2 x}- 2^{\cos^2 x} =2019. \cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0; 2\pi]$.
Bài giải: Phương trình đã cho tương đương với:
$2^{\sin^2 x}+2019\sin^2 x= 2^{\cos^2 x} +2019. \cos^2x\Leftrightarrow f(\sin^2 x)=f(\cos^2x).$
Trong đó, $f(t)=2^t+2019t$. Vì f(t) là tổng của hai hàm đồng biến nên f(t) là hàm đồng biến. Do đó:
$ f(\sin^2 x)=f(\cos^2x) \Leftrightarrow \sin^2 x= \cos^2 x \Leftrightarrow \cos 2x=0$
$\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} $.
Ta có $\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \in [0; 2\pi] \Leftrightarrow k = 0;1;2;3$.
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn $[0; 2\pi]$.