Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số

I. Phương pháp giải:

Cho I là một khoảng, một đoạn hoặc một khoảng.

• Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số điểm chung của đường thẳng $y=m$ với đồ thị hàm số $y=f(x).$
• Nếu hàm số $y=f(x)$ đơn điệu trên I thì phương trình $f(x)=m$ có tối đa một nghệm trên I.
• Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên I, hàm số $y=g(x)$ nghịch biến trên I thì phương trình $f(x)=g(x)$ có tối đa một nghệm trên I.
• Nếu hàm số $y=f(t)$ đơn điệu trên I và u, v thuộc I thì phương trình $f(u)=f(v)$ tương đương với $u=v.$ 

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm nghiệm của phương trình $5^x-4^x=1.$

Bài giải: Ta có,

$5^x-4^x=1\iff 5^x=4^x+1\iff (\frac{4}{5}{)}^x+(\frac{1}{5}{)}^x=1.$     (1)

Ta thấy, hàm số ở vế trái là hàm số nghịch biến, vế phải là hằng số. Nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Mà $x=1$ là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=1.$

Bài tập 2: Tính tổng $T$ tất cả các nghiệm thực của phương trình $2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}=3.(\frac{2}{3}{)}^x.$

Bài giải: ĐKXD: $x\in [0;1]$. Ta xét từng vế của phương trình:

• Xét hàm $f(x)=2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2.\sqrt{1-x}}>0$, $\mathrm{\forall }x\in (0;1)$. Vậy $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;1]$.
• Vế phải của phương trình nghịch biến.