Dạng 2: Tìm thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x), y=h(x)..
I.Phương pháp giải
Ta tính các giao điểm a, b, c là nghiệm của các phương trình f(x)=g(x), g(x)=h(x), h(x)=f(x)..
Ta áp dụng công thức: $V=\pi\mid \int_{a}^{b} [ f(x) ]^{2} - [g(x) ]^{2} dx\mid + \pi\mid \int_{b}^{c}[ g(x) ]^{2} - [h(x) ]^{2} dx\mid.$
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho miền D giới hạn bởi đồ thị (C): $y=x^{2}+1(x\geq 0), y=-3x+11, y=2$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài giải
Ta tìm giao điểm của các đường đã cho:
$x^{2}+1=2\Rightarrow x=1$ do $x\geq 0$
$-3x+11=2\Rightarrow x=3$
$x^{2}+1=-3x+11\Rightarrow x=2$ vì $x\geq 0$.
Do đó :
$V=π\int_{1}^{2}[(x^{2}+1)^{2}-4)dx+π\int_{2}^{3}[(-3x+14)^{2}-14)dx$
$\approx 336 (dvtt)$
Bài tập 2: Cho miền D giới hạn bởi đồ thị các đường $y=x^{2},y=4x^{2},y=4$. Tính thể tích khổi tròn xoay được tạo nên khi D xoay quanh trục Oy.
Bài giải
Ta chuyển đổi hàm số:
$y=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{y}$
$y=4x^{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\sqrt{y}$
Ta có: $\sqrt{y}=\frac{1}{2}\sqrt{y}\Leftrightarrow y=0$.
Vì đồ thị hai đường $y=x^{2},y=4x^{2}$ giao nhau tại O nên ta có thể tích cần tính là:
$V$=π$\left | \int_{0}^{4}\left ( (\sqrt{y})^{2}-(\frac{\sqrt{y}}{2})^{2} \right )dy \right |$
=4π (đvtt)