Dạng 2: Tìm thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x), y=h(x).

Dạng 2: Tìm thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x), y=h(x)..

I.Phương pháp giải

Ta tính các giao điểm a, b, c là nghiệm của các phương trình f(x)=g(x), g(x)=h(x), h(x)=f(x)..

Ta áp dụng công thức: $V=\pi \mid {\int }_a^b[f(x){]}^2-[g(x){]}^{2}dx\mid +\pi \mid {\int }_b^c[g(x){]}^2-[h(x){]}^{2}dx\mid .$

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho miền D giới hạn bởi đồ thị (C): $y=x^2+1(x\ge 0),y=-3x+11,y=2$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.

Bài giải

Ta tìm giao điểm của các đường đã cho:

$x^2+1=2\Rightarrow x=1$ do $x\ge 0$

$-3x+11=2\Rightarrow x=3$

$x^2+1=-3x+11\Rightarrow x=2$ vì  $x\ge 0$.

Do đó :

$V=\pi {\int }_1^2[(x^2+1{)}^2-4)dx+\pi {\int }_2^3[(-3x+14{)}^2-14)dx$

$\approx 336(dvtt)$

Bài tập 2: Cho miền D giới hạn bởi đồ thị các đường $y=x^2,y=4x^2,y=4$. Tính thể tích khổi tròn xoay được tạo nên khi D xoay quanh trục Oy.

Bài giải

Ta chuyển đổi hàm số:

$y=x^2\Rightarrow x=\sqrt{y}$

$y=4x^2\Rightarrow x=\frac{1}{2}\sqrt{y}$

Ta có: $\sqrt{y}=\frac{1}{2}\sqrt{y}\iff y=0$.

Vì đồ thị hai đường $y=x^2,y=4x^2$ giao nhau tại O nên ta có thể tích cần tính là:

$V$=π$\left|{\int }_0^4((\sqrt{y}{)}^2-(\frac{\sqrt{y}}{2}{)}^2)dy\right|$

=4π (đvtt)