Dạng 2: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp lôgarit hai vế

I. Phương pháp giải:

1. Đối với phương trình dạng $a^{f(x)}=b^{g(x)}$, với a, b là các số dương khác 1.

Khi đó lấy lôgarit cơ số a hai vế ta được phương trình tương đương:

$f(x)=g(x).{\log }_{a}b$.

2. Đối với phương trình dạng $a^{f(x)}.b^{g(x)}=c$, với a, b, c là các số dương khác 1.

Khi đó lấy lôgarit cơ số a hai vế ta được phương trình tương đương:

$f(x)+b.{\log }_{a}g(x)={\log }_{a}c$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm tập nghiệm S của phương trình $2^{x-1}=3^{(x-1{)}^2}$.

Bài giải: Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế, ta được:

$x-1=(x-1{)}^2.{\log }_{2}3$

$\iff [\begin{array}{l}x-1=0\\ 1=(x-1).{\log }_{2}3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=1+{\log }_{3}2\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=1;1+{\log }_{3}2$.

Bài tập 2: Tính tổng T tất cả các nghiệm thực của phương trình $2^x.3^{x^2}=6^x.$

Bài giải: Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế, ta được:

$x+x^2.{\log }_{2}3=x(1+{\log }_{2}3)\iff x^2=x\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

Vậy $T=1.$