Dạng 2: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp lôgarit hai vế

I. Phương pháp giải:

• Nếu $a>1$: $a^{f(x)}>b^{g(x)}\iff f(x)>g(x).{\log }_{a}b$
• Nếu $0<a<1$: $a^{f(x)}>b^{g(x)}\iff f(x)<g(x).{\log }_{a}b$

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 5 thoả mãn bất phương trình

                       $2^x.3^{x-1}{.5}^{x-2}>12.$

Bài giải: Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được

$\lg (2^x.3^{x-1}{.5}^{x-2})>\lg 12$

$\iff \lg 2^x+\lg 3^{x-1}+\lg 5^{x-2}>\lg 12$

$\iff x\lg 2+(x-1)\lg 3+(x-2)\lg 5>\lg 12$

$\iff x(\lg 2+\lg 3+\lg 5)>\lg 12+\lg 3+2\lg 5$

$\iff x(\lg 2+\lg 3+\lg 5)>2\lg 2+2\lg 3+2\lg 5$

$\iff x>2$.

Vậy có 2 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 5 là x=3; 4 thoả mãn.

Bài tập 2: Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm dương trong đoạn [5; 10].

                   $5^x{.8}^{\frac{x-1}{x}}<500.$

Bài giải: Ta có:

$5^x{.8}^{\frac{x-1}{x}}<500\iff 5^x{.2}^{3.\frac{x-1}{x}}<5^3{.2}^2\iff 5^{x-3}{.2}^{\frac{x-3}{x}}<1.$

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế, ta được:

${\log }_2{5}^{x-3}{.2}^{\frac{x-3}{x}}<0$

$\iff {\log }_2(5^{x-3})+{\log }_2(2^{\frac{x-3}{x}})<0$

$\iff (x-3){\log }_{2}5+\frac{x-3}{x}<0$

$\iff (x-3)({\log }_{2}5+\frac{1}{x})<0$

$\iff {\log }_{2}5+\frac{1}{x}<0$

$\iff 1+x{\log }_{2}5<0$

$\iff x<\frac{-1}{{\log }_{2}5}$.

Vậy bất phương trình không có nghiệm dương trong đoạn [5; 10].