Dạng 3: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

Dạng 3: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số .

Với bất phương trình dạng: $\log_a f(x)>\log_a g(x)$

Nếu $a>1$: $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)>0\\f(x)>g(x) \end{matrix}\right.$
Nếu $0<a<1$: $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)>0\\f(x)<g(x) \end{matrix}\right.$

Bài tập 1: Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên

$\frac{1}{2}\log_2 (x^2+4x-5)> \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x+7})$.

Bài giải:

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-5>0\\ \frac{1}{x+7}>0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\in (-7;-5)\cup (1; +\infty)$.

BPT $\Leftrightarrow \log_2 (x^2+4x-5)> -2\log_2 (\frac{1}{x+7})$.

$\Leftrightarrow \log_2 (x^2+4x-5)> \log_2 (x+7)^2$.

$\Leftrightarrow x^2+4x-5> (x+7)^2$.

$\Leftrightarrow x<\frac{-27}{5}$.

Kết hợp điều kiện ta được $-7<x< \frac{-27}{5}$.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên là -6.

Bài tập 2: Giải bất phương trình sau:

$(\sqrt{5}-2)^{\frac{x-3}{x-1}}>(\sqrt{5}+2)^{\frac{x+1}{x+3}}$

Bài giải: Vì $(\sqrt{5}-2).(\sqrt{5}+2)=1 \Rightarrow (\sqrt{5}+2)= (\sqrt{5}-2)^{-1}.$

Ta có $(\sqrt{5}-2)^{\frac{x-3}{x-1}}>(\sqrt{5}+2)^{\frac{x+1}{x+3}}$.

$\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}< - \frac{x+1}{x+3}$

$\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1} + \frac{x+1}{x+3}<0$

ĐKXĐ: x#1; x#-3.

BPT $\Leftrightarrow \frac{x^2-9+x^2-1}{(x-1)(x+3)} <0$

$\Leftrightarrow \frac{2x^2-10}{(x-1)(x+3)} <0$.

Vậy tập nghiệm của BPT là $(-3; -\sqrt{5}) \cup (1; \sqrt{5}).$