Dạng 3: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

Dạng 3: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số .

Với bất phương trình dạng: $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

Nếu $a > 1$ : $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} g (x) > 0 \\ f (x) > g (x) \end{matrix}$
Nếu $0 < a < 1$ : $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} g (x) > 0 \\ f (x) < g (x) \end{matrix}$

Bài tập 1: Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên

$\frac{1}{2} \log_{2} (x^{2} + 4 x - 5) > \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x + 7})$ .

Bài giải:

ĐKXĐ: ${\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 5 > 0 \\ \frac{1}{x + 7} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in (- 7; - 5) \cup (1; + \infty)$ .

BPT $\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} + 4 x - 5) > - 2 \log_{2} (\frac{1}{x + 7})$ .

$\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} + 4 x - 5) > \log_{2} (x + 7)^{2}$ .

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 5 > (x + 7)^{2}$ .

$\Leftrightarrow x < \frac{- 27}{5}$ .

Kết hợp điều kiện ta được $- 7 < x < \frac{- 27}{5}$ .

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên là -6.

Bài tập 2: Giải bất phương trình sau:

$(\sqrt{5} - 2)^{\frac{x - 3}{x - 1}} > (\sqrt{5} + 2)^{\frac{x + 1}{x + 3}}$

Bài giải: Vì $(\sqrt{5} - 2) . (\sqrt{5} + 2) = 1 \Rightarrow (\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5} - 2)^{- 1} .$

Ta có $(\sqrt{5} - 2)^{\frac{x - 3}{x - 1}} > (\sqrt{5} + 2)^{\frac{x + 1}{x + 3}}$ .

$\Leftrightarrow \frac{x - 3}{x - 1} < - \frac{x + 1}{x + 3}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3}{x - 1} + \frac{x + 1}{x + 3} < 0$

ĐKXĐ: x#1; x#-3.

BPT $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x + 3)} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{2 x^{2} - 10}{(x - 1) (x + 3)} < 0$ .

Vậy tập nghiệm của BPT là $(- 3; - \sqrt{5}) \cup (1; \sqrt{5}) .$