Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit.
I. Phương pháp giải:
- Chuyển bất đẳng thức đã cho về dạng: $h(x)>0$ tương tự cho $\leq ; \geq ; <$.
- Tìm tập xác định của hàm số y=h(x).
- Tính đạo hàm y'=h'(x), giải phương trình h'(x)=0.
- Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức:
$\arctan x - \frac{\pi}{4}\geq \ln (1+x^2)-ln2 ; \forall x\in [\frac{1}{2};1].$
Bài giải: Ta có $\arctan x - \frac{\pi}{4}\geq \ln (1+x^2)-ln2 \Leftrightarrow \arctan x - \ln (1+x^2)\geq \frac{\pi}{4}-\ln2$.
Xét hàm số $\arctan x - \ln (1+x^2)$ với $x\in [\frac{1}{2};1].$
Ta có $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{1-2x}{1+x^2}.$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2x=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta được $\arctan x - \ln (1+x^2) \geq \frac{\pi}{4} -ln2 ; \forall x\in [\frac{1}{2};1].$
Vậy $\arctan x - \frac{\pi}{4}\geq \ln (1+x^2)-ln2 ; \forall x\in [\frac{1}{2};1].$
Bài tập 2: Chứng minh $e^x\geq 1+x ; \forall x>0.$
Bài giải: Xét hàm số $e^x -1-x$ với $x\in [0; +\infty)$.
Ta có: $f'(x)=e^x-1>e^0-1=0$ với $x\in [0; +\infty)$.
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $[0; +\infty)$ $\Rightarrow f(x)>f(0) $ với $\forall x>0$.