Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit

Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit.

Chuyển bất đẳng thức đã cho về dạng: $h (x) > 0$ tương tự cho $\leq; \geq; <$ .
Tìm tập xác định của hàm số y=h(x).
Tính đạo hàm y'=h'(x), giải phương trình h'(x)=0.
Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức:

$\arctan x - \frac{π}{4} \geq \ln (1 + x^{2}) - l n 2; \forall x \in [\frac{1}{2}; 1] .$

Bài giải: Ta có $\arctan x - \frac{π}{4} \geq \ln (1 + x^{2}) - l n 2 \Leftrightarrow \arctan x - \ln (1 + x^{2}) \geq \frac{π}{4} - \ln 2$ .

Xét hàm số $\arctan x - \ln (1 + x^{2})$ với $x \in [\frac{1}{2}; 1] .$

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{2 x}{1 + x^{2}} = \frac{1 - 2 x}{1 + x^{2}} .$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được $\arctan x - \ln (1 + x^{2}) \geq \frac{π}{4} - l n 2; \forall x \in [\frac{1}{2}; 1] .$

Vậy $\arctan x - \frac{π}{4} \geq \ln (1 + x^{2}) - l n 2; \forall x \in [\frac{1}{2}; 1] .$

Bài tập 2: Chứng minh $e^{x} \geq 1 + x; \forall x > 0.$

Bài giải: Xét hàm số $e^{x} - 1 - x$ với $x \in [0; + \infty)$ .

Ta có: $f^{'} (x) = e^{x} - 1 > e^{0} - 1 = 0$ với $x \in [0; + \infty)$ .

\Rightarrow f (x)

đồng biến trên

[0; + \infty)

\Rightarrow f (x) > f (0)

với

\forall x > 0

Vậy

e^{x} - 1 - x > 0

hay

e^{x} > 1 + x

(điều phải chứng minh).