Dạng 1: Tìm giới hạn của các hàm số mũ và lôgarit

I. Phương pháp giải

1. Biến đổi đưa về các dạng cơ bản

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$

b) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3}{x-\sin x}$.

Bài giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\tan x-x{)}^{\prime }}{(x-\sin x{)}^{\prime }}$

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1}{1-\cos x}$= $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1-\cos x).{\cos }^{2}x}$

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x).{\cos }^{2}x}$ = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+\cos x}{{\cos }^{2}x}$ = 2.

b) Ta có $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3}{x-\sin x}$ = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(x^3{)}^{\prime }}{(x-\sin x{)}^{\prime }}$.

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x^2}{1-\cos x}$= $=\underset{x\to 0}{lim}\frac{6x}{\sin x}$

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{6}{cosx}=6.$

Bài tập 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau

a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}$

b) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x+2)\sin \frac{2}{x}$.

Bài giải: a) Ta có: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}$ =  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x-2\sin x\cos x}{x^3}$

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x(1-\cos x)}{x^3}$ = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{4\sin x.{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^3}$

= $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}.\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}}=1$ 

b) Đặt $\frac{1}{x}=t$, ta có:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x+2)\sin \frac{2}{x}$ =  $\underset{t\to 0}{lim}(\frac{1}{t}+2).\sin 2t$

=  $\underset{t\to 0}{lim}2\sin t$ + $\underset{t\to 0}{lim}2\frac{\sin t}{t}.\cos t=2.$