Dạng 1: Tìm giới hạn của các hàm số mũ và lôgarit.
I. Phương pháp giải
1. Biến đổi đưa về các dạng cơ bản
2. Một số công thức mở rộng
- $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=ln a (a>0)$
- $\lim_{x\to 0}\frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{1}{ln a }(0<a \neq 1)$.
3. Áp dụng quy tắc L'hopitan:
Cho hai hàm số f và g. Nếu $\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0$ hoặc $ -\infty; +\infty$ và $\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ tồn tại thì $\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
4. Các công thức tính giới hạn lượng giác:
- $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$.
- $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=1$.
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau
a) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$
b) $\lim_{x\to 0}\frac{ x^3}{x-\sin x}$.
Bài giải:
a) Ta có: $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{(\tan x-x)'}{(x-\sin x)'}$
$= \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-1}{1-\cos x}$= $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x).\cos^2 x}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x).\cos^2 x}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{1+\cos x}{\cos^2 x}$ = 2.
b) Ta có $\lim_{x\to 0}\frac{ x^3}{x-\sin x}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{ (x^3)'}{(x-\sin x)'}$.
$=\lim_{x\to 0}\frac{ 3x^2}{1-\cos x}$= $=\lim_{x\to 0}\frac{ 6x}{\sin x}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{ 6}{cos x}=6.$
Bài tập 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau
a) $\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}$
b) $\lim_{x\to +\infty}(x+2)\sin \frac{2}{x}$.
Bài giải: a) Ta có: $\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-2\sin x\cos x}{x^3}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x(1-\cos x)}{x^3}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{4\sin x . \sin^2\frac{x}{2}}{x^3}$
= $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x }{x}. \frac{ \sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}} = 1$
b) Đặt $\frac{1}{x}=t$, ta có:
$\lim_{x\to +\infty}(x+2)\sin \frac{2}{x}$ = $\lim_{t\to 0}(\frac{1}{t}+2).\sin 2t $
= $\lim_{t\to 0} 2\sin t $ + $\lim_{t\to 0} 2\frac{\sin t}{t}.\cos t =2.$