Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

I. Phương pháp giải:

Xét phương trình:

$f (a_{1}^{x}; a_{2}^{x}; . . .; a_{n}^{x}) = 0.$ (1)

Trong đó, $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ là các số dương, khác 1. Giả sử $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ cùng là luỹ thừa với số mũ nguyên của a(0<a#1), tức là $a_{1} = a^{k_{1}}, . . ., a_{n} = a^{k_{n}}$ . Khi đó, đặt $t = a^{x}; (t > 0)$ , phương trình (1) trở thành:

$f (t^{k_{1}}; t^{k_{2}}; . . .; t^{k_{n}}) = 0.$ (2)

Ta có:

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm dương.
Nếu $t_{0}$ là một nghiệm dương của (2) thì nghiệm tương ứng của (1) là $x_{0}$ thoả mãn $t_{0} = a^{x_{0}}$ hay $x_{0} = \log_{a} (t_{0}) .$

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $4^{x} - {8.2}^{x} + 4 = 0.$

Bài giải: Đặt $t = 2^{x}; (t > 0)$ phương trình đã cho trở thành

$t^{2} - 8 t + 4 = 0.$ (1)

Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm $t_{1} = 4 + 2 \sqrt{3}$ và $t_{2} = 4 - 2 \sqrt{3}$ .

Khi đó

[\begin{array}{l} 2^{x} = t_{1} \\ 2^{x} = t_{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = \log_{2} t_{1} \\ x_{2} = \log_{2} t_{2} \end{array}

Vậy

T = x_{1} + x_{2} = \log_{2} t_{1} + \log_{2} t_{2} = \log_{2} (t_{1} . t_{2}) = \log_{2} 4 = 2.

Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $9^{x} - {2.3}^{x + 1} + m = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}; x_{2}$ thoả mãn $x_{1} + x_{2} = 1.$

Bài giải: Đặt $t = 3^{x}$ (t>0), phương trình đang xét trở thành:

$t^{2} - 6 t + m = 0.$ (1)

Mỗi nghiệm x của phương trình ban đầu ứng với một nghiệm $t > 0$ của phương trình (1).

Giả sử $t_{1} = 3^{x_{1}}$ và $t_{2} = 3^{x_{2} .}$

Khi đó $t_{1} . t_{2} = 3^{x_{1}} . 3^{x_{2}} = 3^{x_{1} + x_{2}} = 3^{1} = 3$ . Theo định lý Vi-et, $t_{1} . t_{2} = m$ . Do đó $m = 3.$

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $(3 + 2 \sqrt{2})^{x} + (3 - 2 \sqrt{2})^{x} = m$ có nghiệm.

Bài giải: Ta có $(3 + 2 \sqrt{2})^{x} . (3 - 2 \sqrt{2})^{x} = [(3 + 2 \sqrt{2}) . (3 - 2 \sqrt{2})]^{x} = 1.$

Do đó, nếu đặt $(3 + 2 \sqrt{2})^{x} = t$ thì $(3 - 2 \sqrt{2})^{x} = \frac{1}{t}$ . Khi đó phương trình trở thành

$t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow t^{2} - m t + 1 = 0.$

Phương trình x có nghiệm khi và chỉ khi phương trình t có nghiệm dương.

Áp dụng Vi-et ta thấy $t_{1} . t_{2} = 1$ nên nếu một nghiệm dương thì cả hai nghiệm đều dương.

Khi đó điều kiện để phương trình t có nghiệm dương là:

${\begin{matrix} Δ \geq 0 \\ t_{1} + t_{2} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m^{2} - 4 \geq 0 \\ m > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m \geq 2.$

Vậy $m \geq 2$ .

Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Mục lục

Bài học cùng chủ đề

Đề thi cùng chủ đề

I. Phương pháp giải:

II. Bài tập áp dụng