Dạng 1: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

I. Phương pháp giải:

Một số lưu ý khi đặt ẩn phụ

1. Nếu đặt $t=a^x$ thì $t>0$; $a^{2x}=t^2$;...
2. Gặp bất phương trình dạng $m.a^{2.f(x)}+n.a^{f(x)+g(x)}+p.a^{2g(x)}>0$ ta chia cả hai vế cho $a^{2g(x)}$ và ta đặt $a^{f(x)-g(x)}.$
3. Gặp bất phương trình dạng $m.a^{2.f(x)}+n.(ab{)}^{f(x)}+p.b^{2f(x)}>0$ ta chia cả hai vế cho $a^{2f(x)}$ và ta đặt $t=(\frac{a}{b}{)}^{f(x)}$ (a>b).
4. $\sqrt{2}-1=(\sqrt{2}+1{)}^{-1}$; $2-\sqrt{3}=(\sqrt{3}+2{)}^{-1}$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$(5+\sqrt{21}{)}^x+(5-\sqrt{21}{)}^x\le 2^{x+{\log }_{2}5}$.

Bài giải: Chia hai vế của bất phương trình cho $2^x$ ta được,

$(\frac{5+\sqrt{21}}{2}{)}^x+(\frac{5-\sqrt{21}}{2}{)}^x\le 5$.

Vì $(\frac{5+\sqrt{21}}{2}).(\frac{5-\sqrt{21}}{2})=1$ nên đặt $t=(\frac{5+\sqrt{21}}{2}{)}^x$ thì $(\frac{5-\sqrt{21}}{2}{)}^x=\frac{1}{t}$.

Khi đó bất phương trình trở thành:

$t+\frac{1}{t}\le 5\iff t^2-5t+1\le 0\iff \frac{5-\sqrt{21}}{2}\le t\le \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\iff \frac{5-\sqrt{21}}{2}\le (\frac{5+\sqrt{21}}{2}{)}^x\le \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\iff -1\le x\le 1.$

Vậy tổng tất cả các nghiệm dương của bất phương trình là T=1.

Bài tập 2: Xác định $m$ để bất phương trình $4^x-(m+2){.2}^x+8m+1<0$; (1) nghiệm đúng với mọi $x\in (-\mathrm{\infty };1).$ 

Bài giải: Đặt $2^x=t$, bất phương trình tương đương $t^2-(m+2)t+8m+1<0.$   (2)

Ta có $x\in (-\mathrm{\infty };1)$ thì $t\in (0;2).$ 

Bài toán tương đương với phương trình $f(t)=0$ có hai nghiệm $t_1;t_2$ thoả mãn $t_1<0<2<t_2,$ tức là:

$\{\begin{array}{c}a.f(0)<0\\ a.f(2)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}8m+1<0\\ 6m+1<0\end{array}\iff m>\frac{-1}{8}$.

Vậy $m>\frac{-1}{8}$.