Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Vận dụng kiến thức hình vuông để giải toán. Tính độ dài đoạn thẳng của hình thang. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng định nghĩa, tính chất của hình vuông để chứng minh các quan hệ bằng nhau, song song, vuông góc, thẳng hàng

Ta sử dụng định nghĩa, tính chất và bổ đề về hình vuông.

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng AM = BN và AM $\perp $ BN.

Hướng dẫn:

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được:

  • AB = BC
  • $\widehat{A}=\widehat{B}=90^{\circ}$
  • BM = CN

$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $BCN (c.g.c)

$\Rightarrow $ AM = BN

Gọi I là giao điểm của AM và BN

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN kết quả của hai tam giác bằng nhau ta được:

$\widehat{A_{1}}+\widehat{M_{1}}=90^{\circ}$

$\widehat{B_{1}}=\widehat{A_{1}}$

$\Rightarrow $ $\widehat{B_{1}}+\widehat{M_{1}}=90^{\circ}$ (1)

Áp dụng tính chất về góc vào $\Delta $BIM ta có $\widehat{B_{1}}+\widehat{M_{1}}+\widehat{I_{1}}=180^{\circ}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{I_{1}}=90^{\circ}$

Do đó AM $\perp $ BN

2. Tìm điều kiện để một hình trở thành hình vuông

- Ta sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông.

- Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm vị trí của một điểm nào đó để một hình trở thành hình vuông ta làm như sau: Giả sử hình đó là hình vuông rồi dựa vào các tính chất của hình vuông để chỉ ra vị trí cần tìm.

Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDFD là hình vuông?

Hướng dẫn: 

a) Tứ giác AEDF là hình bình hành

Từ giả thiết ta được : DE // AC và DF // AB

$\Rightarrow $ DE // AF và DF // AE

Tứ giác AEDF có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành

b) AEDF là hình thoi thì nó là hình bình hành và có AD là tia phân giác của $\widehat{FAE}$

Vậy AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ thì tứ giác AEDF là hình thoi.

c) Nếu $\Delta $ABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì cần có AF = AE

$\Rightarrow \widehat{FAD}=\widehat{DAE}$. Hay AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Vậy D thuộc BC và AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ thì tứ giác AEDF là hình vuông.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của $\widehat{DAE}$ cắt CD ở F. Kẻ FH $\perp $ AE (H $\in $ AE). FH cắt BC ở K.

a) Tính độ dài AH.

b) Tính số đo $\widehat{FAK}$

2. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD và I là giao điểm của AN, DM. Chứng minh rằng:

a) AN $\perp $ DM

b) AB = BI

3. Cho một hình vuông cạnh dài 1m. Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này.

4. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC ấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF. Gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MANF là hình vuông.

b) F thuộc tia phân giac của $\widehat{MCN}$.

c) AC $\perp $ CF.

d) Tứ giác BOFC là hình thang.

5. Cho $\Delta $ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua điểm I.

a) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao?

c) TÌm điều kiện của $\Delta $ABC để tứ giác AMCK là hình vuông.

6. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, qua C vẽ đường thẳng song song với BD, hai đường thẳng này cắt nhau tại K.

a) Tứ giác OBKC là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AB = OK

c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông.

7. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và $\widehat{A}=60^{\circ}$. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của BC và AD.

a) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?

c) Tính số đo $\widehat{AED}$