Cách giải bài toán dạng: Tứ giác ngoại tiếp đường tròn

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Tứ giác ngoại tiếp đường tròn. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp

Ta có nhận xét sau: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) $\iff$ AB + CD = BC + AD

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD ($\hat{A}=\hat{D}={90}^{\circ }$ ngoại tiếp đường tròn (O). Tìm độ dài các cạnh AB và CD biết OB = 15cm và OC = 20cm.

Hướng dẫn:

Xét $\mathrm{\Delta }$COB có : $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{BCD}}{2}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }$BOC vuông tại O. Từ đó $B{C}^2=O{B}^2+O{C}^2={15}^2+{20}^2$

$\Rightarrow BC=25$ (cm)

Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại K, kẻ BH $\perp$ CD. Ta thấy:

OK.BC = OB.OC suy ra OK = $\frac{OB.OC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12$(cm)

Đặt CD = a, AB = b thì HC = a-b = 7cm . Vì ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB + CD = BC + AD hay BC + AD = a + b = 49 

Ta có hệ: $\{\begin{array}{c}a-b=7\\ a+b=49\end{array}$

$\iff$ a= 28 và b = 21

2. Chứng minh tứ giác ngoại tiếp

- Ta dựa vào dấu hiệu tứ giác ngoại tiếp.

- Hoặc dựa vào nhận xét: Nếu tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD thì nó ngoại tiếp đường tròn.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I thì ta có hệ thức: $B{I}^2+\frac{AI}{DI}.BI.CI=AB.BC$

Hướng dẫn:

Lấy điểm P ngoài tứ giác ABCD sao cho $\mathrm{\Delta }PAB\sim \mathrm{\Delta }IDC$. Khi đó ta có $\widehat{PAB}=\widehat{IDC}=d$; $\widehat{PAB}=\widehat{ICD}=c$ 

$\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{IDC}=c$

Suy ra $\widehat{PAI}+\widehat{PBI}=a+b+c+d={180}^{\circ }$ nên tứ giác PAIB nội tiếp.

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp này ta có:

BI.PQ + PB.AI = PI.AB hay BI.$\frac{PA}{PI}$ = AB (1)

Mặt khác $\widehat{PAI}=\widehat{IBA}=b$; $\widehat{BPI}=\widehat{BAI}=a;\widehat{PIA}=\widehat{PBA}=c;\widehat{PAB}=\widehat{PIB}=d$ nên 

$\mathrm{\Delta }PIA\sim \mathrm{\Delta }BCI$

$\Rightarrow \frac{IA}{PI}=\frac{IC}{BC};\frac{AP}{PI}=\frac{BI}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B{I}^2$ + PB.IC = AB.BC (3)

Lại vì $\mathrm{\Delta }PBI\sim \mathrm{\Delta }AID$ nên $\frac{PB}{BI}=\frac{IA}{ID}$ hay PB = BI.$\frac{IA}{ID}$

Thay (3) vào ta được $B{I}^2+\frac{AI}{BI}.BI.CI=AB.BC$ (đpcm)

Lưu ý: Lập luận tương tự ta cũng có hệ thức $C{I}^2+\frac{DI}{AI}.BI.CI=CD.CB$