Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Tứ giác ngoại tiếp đường tròn. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp
Ta có nhận xét sau: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) $\Leftrightarrow $ AB + CD = BC + AD
Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}$ ngoại tiếp đường tròn (O). Tìm độ dài các cạnh AB và CD biết OB = 15cm và OC = 20cm.
Hướng dẫn:
Xét $\Delta $COB có : $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{BCD}}{2}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta $BOC vuông tại O. Từ đó $BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}=15^{2}+20^{2}$
$\Rightarrow BC=25$ (cm)
Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại K, kẻ BH $\perp $ CD. Ta thấy:
OK.BC = OB.OC suy ra OK = $\frac{OB.OC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12$(cm)
Đặt CD = a, AB = b thì HC = a-b = 7cm . Vì ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB + CD = BC + AD hay BC + AD = a + b = 49
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}a-b=7\\a+b=49 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow $ a= 28 và b = 21
2. Chứng minh tứ giác ngoại tiếp
- Ta dựa vào dấu hiệu tứ giác ngoại tiếp.
- Hoặc dựa vào nhận xét: Nếu tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD thì nó ngoại tiếp đường tròn.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I thì ta có hệ thức: $BI^{2}+\frac{AI}{DI}.BI.CI = AB.BC$
Hướng dẫn:
Lấy điểm P ngoài tứ giác ABCD sao cho $\Delta PAB\sim \Delta IDC$. Khi đó ta có $\widehat{PAB}=\widehat{IDC}=d$; $\widehat{PAB}=\widehat{ICD}=c$
$\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{IDC}=c$
Suy ra $\widehat{PAI}+\widehat{PBI}=a+b+c+d=180^{\circ}$ nên tứ giác PAIB nội tiếp.
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp này ta có:
BI.PQ + PB.AI = PI.AB hay BI.$\frac{PA}{PI}$ = AB (1)
Mặt khác $\widehat{PAI}=\widehat{IBA}=b$; $\widehat{BPI}=\widehat{BAI}=a; \widehat{PIA}=\widehat{PBA}=c;\widehat{PAB}=\widehat{PIB}=d$ nên
$\Delta PIA\sim \Delta BCI$
$\Rightarrow \frac{IA}{PI}=\frac{IC}{BC};\frac{AP}{PI}=\frac{BI}{BC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $BI^{2}$ + PB.IC = AB.BC (3)
Lại vì $\Delta PBI\sim \Delta AID$ nên $\frac{PB}{BI}=\frac{IA}{ID}$ hay PB = BI.$\frac{IA}{ID}$
Thay (3) vào ta được $BI^{2}+\frac{AI}{BI}.BI.CI = AB.BC$ (đpcm)
Lưu ý: Lập luận tương tự ta cũng có hệ thức $CI^{2}+\frac{DI}{AI}.BI.CI = CD.CB$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD, chứng minh rằng đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD tiếp xúc với nhau tại một điểm nằm trên đường chéo AC.
2. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại P. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CD tại Q. Chứng minh rằng tứ giasc APCQ ngoại tiếp.
3. Cho hình thang cân ABCD nội tiếp trong đường tròn (O1; r) và ngoại tiếp đường tròn (O2; r). Gọi d = O1O2. Chứng minh bất đẳng thức
$\frac{1}{r^{2}}\geq \frac{2}{R^{2}-d^{2}}$. Đẳng thức xảy ra khi nào?
4. Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}$) ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính 6cm, cạnh đáy nhỏ AB = 10cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và CD.
5. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) ngoại tiếp đường tròn (O; r) và CD = 4AB. Tìm độ dài các đoạn thẳng AB và CD.