Bài tập về chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp

Bài tập về chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp.

4. 

Kẻ BE $\perp$ CD (E thuộc CD). Ta có BE = AD = 12cm.

Đặt BC = a, CE = b. Do tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB + CD = AD + BC

$\iff$ 10 + 10 + b = 12 + a

$\iff$ a - b = 8

Từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông BEC, ta có:

$B{E}^2=B{C}^2-C{E}^2$ hay $a^2-b^2=144$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}a-b=8\\ a^2-b^2=144\end{array}$ ta được a = 13 và b = 15

Vậy BC = 13cm và CD = 15cm

5.

Giả sử đường tròn nội tiếp $\mathrm{\Delta }$ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm E, đường tròn nội tiếp $\mathrm{\Delta }$ACD tiếp xúc với cạnh AC tại điểm F.

Ta sẽ chứng minh E trùng với F.

Thật vậy ta có:

2AE = AB + AC - BC

2AF = AD + AC - CD

Do đó 2|AE - AF| = |(AB + AC - BC) - (AD + AC - CD)|

                 = |(AB + CD) - (AD + BC)|   (1)

Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC

Do đó từ (1) ta suy ra:

|AE - AF| = 0 $\iff$ AE = AF. Hay E trùng F