Bài tập về chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp.
4.
Kẻ BE $\perp $ CD (E thuộc CD). Ta có BE = AD = 12cm.
Đặt BC = a, CE = b. Do tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB + CD = AD + BC
$\Leftrightarrow $ 10 + 10 + b = 12 + a
$\Leftrightarrow $ a - b = 8
Từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông BEC, ta có:
$BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}$ hay $a^{2}-b^{2}=144$
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}a-b=8\\ a^{2}-b^{2}=144\end{matrix}\right.$ ta được a = 13 và b = 15
Vậy BC = 13cm và CD = 15cm
5.
Giả sử đường tròn nội tiếp $\Delta $ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm E, đường tròn nội tiếp $\Delta $ACD tiếp xúc với cạnh AC tại điểm F.
Ta sẽ chứng minh E trùng với F.
Thật vậy ta có:
2AE = AB + AC - BC
2AF = AD + AC - CD
Do đó 2|AE - AF| = |(AB + AC - BC) - (AD + AC - CD)|
= |(AB + CD) - (AD + BC)| (1)
Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC
Do đó từ (1) ta suy ra:
|AE - AF| = 0 $\Leftrightarrow $ AE = AF. Hay E trùng F