Bài tập về tính diện tích xung quanh - Diện tích toàn phần, thể tích hình trụ hoặc các yếu tố liên quan.
1. Gọi AB = x, AD = y (x > y) thì ta có:
$\left\{\begin{matrix}x+y=4a\\ xy=3a^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ y^{2}-4ay+3a^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ (y-a)(y-3a)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ y=a\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ y=3a\end{matrix}\right.$
Mà x > y nên x = 3a và y = a
Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy R = a và chiều cao h = 3a.
Vậy Sxq = $2\pi a.3a=6\pi a^{2}$ (đvdt)
V = $\pi a^{2}.3a=3\pi a^{3}$ (đvtt)
Stp = Sxq + 2Sđáy = $6\pi a^{2}+2\pi a^{2}=8\pi a^{2}$ (đvtt)
2. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (cm) (x > 0) thì chiều dài của hình chữ nhật là 4x.
Lúc đó diện tích của hình chữ nhật là $4x^{2}=28\Leftrightarrow x=\sqrt{7}$ (vì x > 0)
Khi quay hình chữ nhật quanh chiều dài một vòng ta được một hình trụ có chiều cao là h = $4\sqrt{7}$cm, bán kình đáy là $\sqrt{7}$cm
Vậy Sxq = $2\pi .\sqrt{7}.4\sqrt{7}=56\pi (cm^{2})$
V = $\pi (\sqrt{7})^{2}.4\sqrt{7}=28\pi \sqrt{7}(cm^{3})$
3. Vì hình trụ có Stp = 2Sxq hay 2Sxq = Sxq + 2Sđáy nên Sxq = 2Sđáy
Do đó ta có:
$2\pi R.h=2\pi R^{2}$
$\Leftrightarrow R=h$
Mà R = 4cm nên h = 4cm
4. Vì Stp = Sxq + 2Sđáy nên $28\pi =20\pi +2\pi R^{2}$
$\Leftrightarrow R^{2}=2^{2}$
$\Leftrightarrow R=2$
Mặt khác Sxq = $2\pi .2.h=20\pi \Leftrightarrow h=5$ (cm)
Vậy V = $\pi .2^{2}.5 = 20\pi (cm^{3})$