Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Dấu hiệu 1
- Xác định khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng.
- Chứng minh d = R
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẻ phân giác trong của góc B cắt AC tại I. Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (I, IA).
Hướng dẫn:
Kẻ IH $\perp $ BC thì IH là khoảng cách từ tâm I của (I, IA) đến cạnh BC.
Theo tính chất đường phân giác của một góc ta có: IH = IA
Vậy BC tiếp xúc với (I, IA).
2. Dấu hiệu 2
- Xác định giao điểm của đường thẳng với đường tròn.
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Ví dụ 2: Cho (O) dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
a, Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b, Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.
Hướng dẫn:
a, Do OC vuông góc với dây AB nên B đối xứng với A qua OC; O đối xứng với O qua C, C đối xứng với C qua OC nên góc OBC đối xứng với góc OAC bằng $90^{0}$ qua OC => $\widehat{OBC}=90^{0}$
CB đi qua điểm B thuộc (O) và $\widehat{OBC}=90^{0}$ => CB là tiếp tuyến của (O).
b, Do OC vuông góc với dây B tại I nên AI = $\frac{AB}{2}$ = 12 (cm)
Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác AOI vuông tại I có canh huyền OA = 15cm, ta có:
OA$^{2}$ = AI$^{2}$ + IO$^{2}$ <=> 15$^{2}$= 12$^{2}$ + OI$^{2}$
<=> OI$^{2}$ = 9 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác AOC vuông tại A có AI là đường cao, ta có:
OA$^{2}$ = OI.OC <=> 15$^{2}$ = 9.OC <=> OC = 25 (cm)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho hình thang vuông ABCD có ($\widehat{A}=\widehat{B}=90^{0}$) có I là trung điểm của AB và góc $\widehat{CID}=90^{0}$. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Kẻ tiếp tuyến tại M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D. Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
3. Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx $\perp $ BA cắt (B, BH) tại D. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B).
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ (A, AH), kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a, Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn đường kính EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn.