Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Chứng minh đẳng thức hình học dựa vào tính chất của tiếp tuyến lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác của các góc trong của tam giác.
2. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác của các góc ngoài tại B và C
- Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
3. Phương pháp chứng minh
- Xác định những đoạn tiếp tuyến bằng nhau
- Đại số hóa hình học
- Dùng phép tính cộng diện tích và phương pháp diện tích
Ví dụ: Cho (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự tại D, E, F. Chứng minh rằng:
a, 2AD = AB + AC - BC
b, Tìm hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
Hướng dẫn:
a, Trên hình vẽ có những đoạn tiếp tuyến bằng nhau: AD = AF, BD = BE và CE = CF
Đặt AD = AF = x; BD = BE = y; CE = CF = z thì:
x + y = AB (1); y + z = BC (2) và z + x = CA (3)
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta có:
x + y + z = $\frac{AB+BC+AC}{2}$ (4)
Trừ vế với vế của (4) cho (2) ta có:
x = $\frac{AB+BC+AC}{2}$ - BC <=> 2x = AB + AC - BC
Vậy 2AD = AB + AC - BC
b, Tương tự lấy (4) trừ (1) và (4) trừ (3) ta có:
2BE = BA + BC - CA và 2CF = CA + CB - AB.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho tam giác ABC có chu vi 2p ngoại tiếp (I, r) gọi a, b, c, ha, hb, hc theo thứ tự là độ dài và chiều cao tương ứng của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a, $\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}$
b, ha + hb + hc = 2pr($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)
2. Cho (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi CA.CB = 2DA.DB
3. Cho tam giác ABC, đường tròn Ia bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:
a, AE = AF = $\frac{a+b+c}{2}$
b, BE = $\frac{a+b-c}{2}$
c, CF = $\frac{c+a-b}{2}$
4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh rằng:
a, $\widehat{COD}=90^{0}$
b, CD = AC + BD
c, Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.