Cách giải bài dạng: Hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau Toán lớp 9

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Vị trí tương đối của đường tròn

• (O, R) và (O', R') cắt nhau <=> (O) và (O') có hai điểm chung <=> |R - R'| < d < R + R'
• (O, R) và (O', R') tiếp xúc nhau <=> (O) và (O') có một điểm chung <=> d = |R - R'| hoặc d = R + R'
• (O, R) và (O', R') không giao nhau <=> (O) và (O') không có điểm chung <=> d > R + R' hoặc d < |R - R'|

2. Tính chất đường nối tâm

• Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp diểm nằm trên đường nối tâm.

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

• Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
• Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
• Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

Ví dụ 1: Cho (O) tiếp xúc trong với (O') tại A ((O) nằm bên trong (O')). Qua A kẻ một cát tuyến bất kì cắt (O) tại B và (O') tại C. Chứng minh rằng OB // O'C.

Hướng dẫn:

Đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường tròn (O') tại A nên A nằm trên OO'.

=> Góc A là góc chung của hai tam giác O'AC và OAB.

Vì O'A = O'C (cùng bằng bán kính (O')) => Tam giác O'AC cân tại O' => $\widehat{A}=\widehat{C}$ (1) 

OA = OB (bán kính (O)) => Tam giác OAB cân tại O => $\widehat{A}=\widehat{B}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{B}=\widehat{C}$

Vậy OB // O'C (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O₁) và (O₂) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của O₁O₂. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt (O₁) tại C và (O₂) ở D (khác A). Chứng minh rằng CA = AD.

Hướng dẫn:

Kẻ O₁H $\perp $ CD, O₂H $\perp $ CD thì O₁H // IA // O₂K (1)

O₁H vuông góc với dây CA của (O₁) nên CH = HA = $\frac{CA}{2}$

O₂K vuông góc với dây AD của (O₂) nên AK = KD = $\frac{AD}{2}$

Lại có O₁I = IO₂ (theo giả thiết)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra O₁H, IA, O₂K là ba đường thẳng song song cách đều nên AH = AK <=> CA = AD