Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Áp dụng cung chứa góc giải các bài toán về quỹ tích và dựng hình. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Quỹ tích những điểm nhìn AB cố định dưới một góc không đổi $\alpha $ (0 < $\alpha $ < 180$^{\circ}$) là hai cung chứa góc $\alpha $ vẽ trên đoạn AB (quỹ tích cơ bản)
Trường hợp đặc biệt: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Khái niệm cung chứa góc giúp chúng ta hiểu được nhiều bài toán quỹ tích, dựng hình, chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp)các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
– Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
– Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
– Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) (A khác B, A khác C). Tia phân giác của $\widehat{ACB}$ cắt đường tròn (O) tại điểm D khác điểm C. Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác điểm B.
a) Chứng minh $\Delta $AKC cân.
b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định.
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm quỹ tích các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O).
Hướng dẫn:
a) Ta có $\widehat{DBK}=\frac{1}{2}$(số đo cung DA + số đo cung AK )
$\widehat{DIB}=\frac{1}{2}$(số đo cung BD + số đo cung KC)
Vì số đo cung BD = số đo cung DA và $\Delta $DBI cân tại D nên số đo cung KC = số đo cung AK
$\Rightarrow $ AK = CK
Hay $\Delta $KAC cân tại K (đpcm)
b) Từ kết quả câu a, ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta $ABC nên đường thẳng AI luôn đi qua điểm J (điểm chính giữa của cung BC không chứa A). Rõ ràng là điểm J cố định.
c) Phần thuận:
$\Delta $AMC cân tại A, nên $\widehat{BMC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$. Giả sử số đo $\widehat{BAC}$ là 2a (không đổi) thì A di động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc a dựng trên đoạn BC về phía điểm O.
Phần đảo:
Tiếp tuyến Bx với đường tròn (O) cắt cung chứa góc a vẽ trên đoạn BC tại điểm X. Lấy điểm M bất kì trên cung CX (một phần cung chứa góc a và vẽ trên đoạn BC, M khác X và M khác C)
Nếu MB cắt đường tròn (O) tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn (O).
Vì $\widehat{BAC}$ = 2a, $\widehat{AMC}$ = a suy ra $\Delta $AMC cân tại A hay AC = AM.
Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung CX,một phần của cung chứa góc a vẽ trên đoạn BC về phía O trừ hai điểm C và X
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn. Vẽ $\Delta $ACD đều với D thuộc mộtnửa mặt phẳng bờ AC không chứa B. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn CD.
2. Dựng $\Delta $ABC biết rằng:
a) BC = 3cm, $\widehat{BAC}=50^{\circ}$, độ dài đường trung tuyến AM bằng 3cm.
b) $\widehat{BAC}=50^{\circ}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2,5cm, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1cm
3. Cho $\Delta $ABC, gọi D và E theo thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam giác với các cạnh AB và AC, H là giao điểm của đường thẳng BO và đường thẳng DE.
a) Chứng minh rằng bốn điểm O, E, H, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng tỏ rằng đường phân giác trong của $\widehat{ABC}$, đường trung bình của $\Delta $ABC song song với cạnh AB và đường thẳng DE đồng quy.