Sử dụng định nghĩa chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Sử dụng định nghĩa chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

1.

Vì $\widehat{CID}={90}^0$ nên DI $\perp$ CE hay DI là đường cao của tam giác CDE (E là giao điểm của CI với tia DA) (1)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho BC // EA ta có:

$\frac{CI}{IE}=\frac{BI}{IA}$ = 1 hay CI = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CDE cân tại D

=> $\hat{E}=\widehat{C_2}$ (theo tính chất tam giác cân) (3).

Lại có $\widehat{C_1}=\hat{E}$ (so le trong) (4)

Từ (3) và (4) suy ra CI là tia phân giác của góc BCD.

Kẻ IH $\perp$ CD thì IH là khoảng cách từ tâm I của đường tròn đường kính AB đến CD.

IH = IB (tính chất tia phân giác) 

Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

2.

Kẻ OI $\perp$ AB (I $\in$ CD) thì CA // IO // DB (1)

Mà AO = OB (2) (vì bán kính)

Từ (1) và (2) suy ra CA, IO, DB là ba đường thẳng song song cách đều nên CI = ID. Lúc đó I là tâm đường tròn đường kính CD và IO là khoảng cách d từ tâm I đến AB.

Do OI là đường trung bình của hình thnag ACDB nên d = OI = $\frac{AC+BD}{2}$

Lại có CA = CM, DB = DM (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên:

$\frac{AC+BD}{2}$ = $\frac{CM+DM}{2}$ = $\frac{DC}{2}$ = R là bán kính của đường tròn (I). 

Do d = R => AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.