Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một giá trị

Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một giá trị.

I.Phương pháp giải:

Sử dụng điều kiện cần: Nếu hàm số đạt cực trị tại x = $x_0$ thì $f_m^{{}^{\prime }}(x_0)$ = 0. Từ đây ta tìm được những giá trị thoả mãn điều kiện cần của m.

Ta thử lại mỗi giá trị của m vừa tìm được, kiểm tra hàm số có đạt cực trị tại x = $x_0$ hay không. Có hai cách:

Cách 1: sử dụng quy tắc 1 để khảo sát sự biến thiên của hàm số (sử dụng khi đạo hàm của hàm số dễ xét dấu);

Cách 2: sử dụng quy tắc 2, dựa vào đạo hàm cấp 2 ( sử dụng khi đạo hàm khó xét dấu).

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y = $\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}(m+2)x^2$  $+(m^2-5)x+5.$ đạt cực trị tại x = -1.

Bài giải:

Ta có: $y^{{}^{\prime }}$ = $x^2-(m+2)x+(m^2-5).$

$\Rightarrow$ $y_{(-1)}^{{}^{\prime }}$ = $m^2+m-2$.

Điều kiện cần của m là: $y_{(-1)}^{{}^{\prime }}$ = 0 $\iff$ m = 1 hoặc m = -2.

Thử lại: 

m = 1: $y^{{}^{\prime }}=x^2-3x-4.$. $y^{{}^{\prime }}$ có hai nghiệm phân biệt là 4 và -1 (thoả mãn);

m = -2 : $y^{{}^{\prime }}=x^2-1.$. $y^{{}^{\prime }}$ có hai nghiệm phân biệt là 1 và -1 (thoả mãn).

Vậy m = 1 hoặc m = -2.

Bài tập 2: Cho hàm số y = $\frac{x^2+mx+1}{x+m}$. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số:

a) đạt cực đại tại x = 2.

b) đạt cực tiểu và có $y_{CT}$ = 3.

Bài giải:

Tập xác định của hàm số: $D=R$   và $x\ne -m$ .

Ta có: $y^{{}^{\prime }}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}$.

$y^{{}^{\prime }}$ = 0 $\iff$ $x^2+2mx+m^2-1$ = 0 $\iff$ x = -m - 1 hoặc x = -m + 1

Ta có bảng biến thiên:

a) Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m - 1.

Hàm số đat cực đại tại x = 2 suy ra -m - 1 = 2 $\iff$ m = -3.

Vậy m = -3.

b) Hàm số đạt cực tiểu  và có $y_{CT}$ = 3.

Nên $y_{CT}$ = -m + 1 = 3 $\iff$ m = -2.

Vậy m = -2.