Tìm điều kiện của tham số để hàm số có hai cực trị thoả mãn điều kiện nào đấy.

Tìm điều kiện của tham số để hàm số có hai cực trị thoả mãn điều kiện nào đấy..

I. Phương pháp giải

Ta giải bài toán theo hai bước:

• Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị;
• Bước 2: Đưa điều kiện đối với $x_1$ và $x_2$ về điều kiện với tham số. Ở bước này ta thường sử dụng định lí Vi-ét ($x_1$ và $x_2$  là các nghiệm của $y^{{}^{\prime }}$).

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số $y=x^3-3(m+1)x^2+9x-m$, với m là tham số. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại $x_1$, $x_2$ sao cho | $x_1$ - $x_2$| $\le$ 2.

Bài giải:

Ta có $y^{{}^{\prime }}=3x^2-6(m+1)x+9$.

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại $x_1$, $x_2$ $\iff y^{{}^{\prime }}=3x^2-6(m+1)x+9$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

$\iff$ ${△}^{{}^{\prime }}=9.((m+1{)}^2-3)>0$ $\iff m>-1+\sqrt{3}$ hoặc $m<-1-\sqrt{3}$ (1).

+) Theo định lí Vi-ét ta có: $x_1$ + $x_2$ = 2(m + 1); $x_1$.$x_2$ = 3. Khi đó:

 |$x_1$ - $x_2$| $\le$ 2 $\iff$ $(x_1+x_2{)}^2$ - 4$x_1$.$x_2$ $\le 4$.

$\iff 4(m+1{)}^2-12\le 4$.

$\iff (m+1{)}^2\le 4$.

$\iff -3\le m\le 1$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $-3\le m<-1-\sqrt{3}$ và $-1+\sqrt{3}<m\le 1$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-(m-1)x^2+3(m-2)x+\frac{1}{3}$,với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ sao cho $x_1+2x_2=1$.

Bài giải:

Ta có: $y^{{}^{\prime }}=x^2-2(m-1)x+3(m-2).$

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\iff$ $y^{{}^{\prime }}=x^2-2(m-1)x+3(m-2)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

$\iff$ ${△}^{{}^{\prime }}=m^2-5m+7>0$ (đúng với mọi m).

Khi đó ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2(m-1)\\ x_1.x_2=3(m-2)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_2=3-2m\\ x_2.(1-2x_2)=3(m-2)\end{array}$

$\iff 8m^2-19m+9=0$.

$\iff$ $m=\frac{-19+\sqrt{73}}{16}$ hoặc  $m=\frac{-19-\sqrt{73}}{16}$.