Giải câu 4 bài: Nguyên hàm

Giải câu 4 bài: Nguyên hàm.

a) $\int x \ln (1 + x) d x$

Đặt $u = \ln (1 + x)$ , $d v = x d x$

=> $d u = \frac{1}{1 - x} d x$ ,

$v=\frac{x^{2}}{2}

Ta có: $\int x \ln (1 + x) d x = \frac{x^{2}}{2} \ln (1 + x) - \int \frac{x^{2} d x}{2 (x + 1)}$

<=> $\int x \ln (1 + x) d x =$ \frac{1}{2}(x^{2}-1)\ln(1-x)-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+C$

b) $\int (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} d x$

Đặt $u (x) = x + 1$ , $e^{x} d x = d v$

=> $d u = d x$

$v = e^{x}$

=> $\int (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} d x = (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} - 2 e^{x} + C =$ (x^{2}-1)e^{x}+C$

c) $\int x \sin x (2 x + 1) d x$

Đặt $u = x$ , $d v = \sin (2 x + 1) d x$

=> $d u = d x$

$v = - \frac{1}{2} \cos (2 x + 1)$

=> $\int x \sin x (2 x + 1) d x = - \frac{1}{2} x \cos (2 x + 1) + \frac{1}{2} \int \cos (2 x + 1) d x$

<=> $\int x \sin x (2 x + 1) d x = - \frac{1}{2} x \cos (2 x + 1) + \frac{1}{4} \sin (2 x + 1) + C$

d) $\int (1 - x) \cos x d x$

Đặt $u = 1 - x$ , $d v = \cos x d x$

=> $d u = - d x$

$v = \sin x$

=> $\int (1 - x) \cos x d x = (1 - x) \sin x + \int \sin x d x$

<=> $\int (1 - x) \cos x d x = (1 - x) \sin x - \cos x + C$