1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Hoạt động 1: Cho vecto $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}$. Hãy xác định điểm C sao cho $\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{a}$.
a. Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}$
b. Vecto $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto $\overrightarrow{a}$?
Hướng dẫn giải:
Điểm C nằm trên tia AB sao cho BC = a.
a. $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}$= $\overrightarrow{AC}$
Vậy vecto $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}$ cùng hướng và có độ dài gấp đôi so với vecto $\overrightarrow{AB}$
b. Vậy vecto $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}$ cùng hướng và có độ dài gấp đôi so với vecto $\overrightarrow{a}$
Câu hỏi: $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau hay không?
Hướng dẫn giải:
Có bằng nhau.
Hoạt động 2: Trên một trục số gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; $\sqrt{2}; -\sqrt{2}$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ với vecto $\overrightarrow{a}= \overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OA}$.
Hướng dẫn giải:
- $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng, độ dài của $|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}|$.
- $\overrightarrow{ON}$ và $\overrightarrow{a}$ ngược hướng, độ dài của $|\overrightarrow{ON}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}|$.
- $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}\overrightarrow{a}$.
Câu hỏi: $-\overrightarrow{a}$ và $(-1)\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ gì?
Hướng dẫn giải:
$-\overrightarrow{a}$ = $(-1)\overrightarrow{a}$
Luyện tập 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điêm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a. Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.
b. Với điểm M bất kì, ta luôn có $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}$
c. Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số $t\leq 0$ để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.
Hướng dẫn giải:
Khẳng định đúng: a, c.
2. CÁCH TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Hoạt động 3: Với $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây đúng?
a. Hai vecto k(t$\overrightarrow{u}$) và (kt)$\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng |kt||$\overrightarrow{u}$|.
b. Nếu kt$\geq 0$ thì cả hai vecto k(t$\overrightarrow{u}$), (kt)$\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.
c. Nếu kt < 0 thì cả hai vecto k(t$\overrightarrow{u}$), (kt)$\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.
d. Hai vecto k(t$\overrightarrow{u}$), (kt)$\overrightarrow{u}$ bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Khẳng định đúng: a, b, c, d.
Hoạt động 4: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto 3($\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$) và 3$\overrightarrow{u}$+3$\overrightarrow{u}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa 3($\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ và 3$\overrightarrow{u}$+3$\overrightarrow{u}$
Hướng dẫn giải:
- 3($\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$) : $\overrightarrow{OC}$
- 3$\overrightarrow{u}$+3$\overrightarrow{u}$: $\overrightarrow{OC}$ .
- 3($\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$) =3$\overrightarrow{u}$+3$\overrightarrow{u}$
Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$
Hướng dẫn giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
=> $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}$
Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$
Luyện tập 3: Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}$.
Hướng dẫn giải:
- $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$,
- $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 4.11. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.
Bài tập 4.12. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$
Bài tập 4.13. Cho hai điểm phân biệt A và B.
a. Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$.
b. Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$
Bài tập 4.14. Cho tam giác ABC
a. Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
b. Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}$.
Bài tập 4.15. Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_{1}}, \overrightarrow{F_{2}}, \overrightarrow{F_{3}}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_{1}}+ \overrightarrow{F_{2}}+ \overrightarrow{F_{3}}=\overrightarrow{0}$. Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_{2}}, \overrightarrow{F_{3}}$, biết $\overrightarrow{F_{1}}$ có độ lớn là 20N.