Giải bài 3 Phương trình quy về bậc hai

1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ 

Hoạt động 1. Lời giải cho phương trình $\sqrt{-2x^2-2x+11}=\sqrt{-x^2+3}$ như sau đúng hay sai: 

$\sqrt{-2x^2-2x+11}=\sqrt{-x^2+3}$

$\Rightarrow$ $-2x^2-2x+11=-x^2+3$

$\Rightarrow$ $x^2+2x-8=0$

$\Rightarrow$ x = 2 hoặc x = -4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4. 

Hướng dẫn giải:

Thay x = 2 và x = -4 vào phương trình ta thấy nó thỏa mãn phương trình. Vậy x = 2 và x = -4 là nghiệm của phương trình 

$\Rightarrow$ Mặc dù kết quả đúng nhưng  lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả

Luyện tập 1. Giải phương trình $\sqrt{31x^2-58x+1}=\sqrt{10x^2-11x-19}$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{31x^2-58x+1}=\sqrt{10x^2-11x-19}$

$\Rightarrow$ $31x^2-58x+1=10x^2-11x-19$

$\Rightarrow$ $21x^2-47x+20=0$

$\Rightarrow$ $x=\frac{4}{7}$ hoặc $x=\frac{5}{3}$

Thay lần lượt x vào phương trình ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn phương trình

2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ 

Hoạt động 2. Lời giải cho phương trình $\sqrt{-x^2+x+1}=x$  như sau đúng hay sai?

$\sqrt{-x^2+x+1}=x$ 

$\Rightarrow$ $-x^2+x+1$ = $x^2$

$\Rightarrow$ $-2x^2+x+1$ = 0

$\Rightarrow$ x=1 hoặc x= $\frac{-1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x= $\frac{-1}{2}$

Hướng dẫn giải:

Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình ta thấy cả hai đều thỏa mãn.   

$\Rightarrow$ Mặc dù kết quả đúng nhưng  lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả.

Luyện tập 2. Giải phương trình $\sqrt{3x^2+27x-41}=2x+3$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{3x^2+27x-41}=2x+3$

$\Rightarrow 3x^2+27x-41={(2x+3)}^2$

$\Rightarrow 3x^2+27x-41=4x^2+12x+9$

$\Rightarrow x^2-15x+50=0$

$\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x=10\\ & x=5\end{array}$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 5 và x = 10 đều thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 10 hoặc x = 5.

Vận dụng:

Cho các tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh 4B và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a. OC=3OA                                       b. $OC=\frac{5}{4}OB$

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác vuông CBO có: ($\widehat{CBO}={90}^o$)

$C{O}^2=C{B}^2+B{O}^2={(x-1)}^2+x^2=2x^2-2x+1$ (ĐL Pytago)

$\Rightarrow CO=\sqrt{2x^2-2x+1}$

Xét tam giác vuông ABO có: ($\widehat{BAO}={90}^o$)

$B{O}^2=B{A}^2+A{O}^2$(ĐL Pytago)

$\Rightarrow A{O}^2=B{O}^2-B{A}^2=x^2-{(x-1)}^2=2x-1$

$\Rightarrow AO=\sqrt{2x-1}$ 

a. OC = 3.OA

$\sqrt{2x^2-2x+1}=3.\sqrt{2x-1}$ (x>1)

$2x^2-2x+1=9.(2x-1)$

$2x^2-20x+10=0$

$\Rightarrow$ $x=5+2\sqrt{5}$ (thỏa mãn điều kiện x > 1) hoặc $x=5-2\sqrt{5}$ (loại do x>1)

$\Rightarrow$ OB = $5+2\sqrt{5}-1$=$4+2\sqrt{5}$  cm

b. $OC=\frac{5}{4}OB$

$\sqrt{2x^2-2x+1}=\frac{5}{4}.x$

$2x^2-2x+1=\frac{25}{16}.x^2$

$\frac{7}{16}{x}^2-2x+1=0$

$x=4$ (thỏa mãn x >1) hoặc $x=\frac{4}{7}$ (loại do x>1)

$\Rightarrow$ OB = 3 cm