Giải bài 3 Phương trình quy về bậc hai

1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c} = \sqrt{dx^{2}+ex+f}$ 

Hoạt động 1. Lời giải cho phương trình $\sqrt{-2x^{2}-2x+11} = \sqrt{-x^{2}+3}$ như sau đúng hay sai: 

$\sqrt{-2x^{2}-2x+11} = \sqrt{-x^{2}+3}$

$\Rightarrow$ $-2x^{2}-2x+11 = -x^{2}+3$

$\Rightarrow$ $x^{2}+2x-8=0$

$\Rightarrow$ x = 2 hoặc x = -4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4. 

Hướng dẫn giải:

Thay x = 2 và x = -4 vào phương trình ta thấy nó thỏa mãn phương trình. Vậy x = 2 và x = -4 là nghiệm của phương trình 

$\Rightarrow$ Mặc dù kết quả đúng nhưng  lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả

Luyện tập 1. Giải phương trình $\sqrt{31x^{2}-58x+1} = \sqrt{10x^{2}-11x-19}$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{31x^{2}-58x+1} = \sqrt{10x^{2}-11x-19}$

$\Rightarrow$ $31x^{2}-58x+1 = 10x^{2}-11x-19$

$\Rightarrow$ $21x^{2} - 47x + 20 = 0$

$\Rightarrow$ $x=\frac{4}{7}$ hoặc $x= \frac{5}{3}$

Thay lần lượt x vào phương trình ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn phương trình

2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c} = dx+e$ 

Hoạt động 2. Lời giải cho phương trình $\sqrt{-x^{2}+x+1} = x$  như sau đúng hay sai?

$\sqrt{-x^{2}+x+1} = x$ 

$\Rightarrow$ $-x^{2}+x+1$ = $x^{2}$

$\Rightarrow$ $-2x^{2}+x+1$ = 0

$\Rightarrow$ x=1 hoặc x= $\frac{-1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x= $\frac{-1}{2}$

Hướng dẫn giải:

Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình ta thấy cả hai đều thỏa mãn.   

$\Rightarrow$ Mặc dù kết quả đúng nhưng  lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả.

Luyện tập 2. Giải phương trình $\sqrt{3{{x}^{2}}+27x-41}=2x+3$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{3{{x}^{2}}+27x-41}=2x+3$

$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+27x-41={{(2x+3)}^{2}}$

$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+27x-41=4{{x}^{2}}+12x+9$

$\Rightarrow {{x}^{2}}-15x+50=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=10 \\ & x=5 \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 5 và x = 10 đều thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 10 hoặc x = 5.

Vận dụng:

Cho các tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh 4B và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a. OC=3OA                                       b. $OC=\frac{5}{4}OB$

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác vuông CBO có: ($\widehat{CBO}={{90}^{o}}$)

$C{{O}^{2}}=C{{B}^{2}}+B{{O}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{x}^{2}}=2{{x}^{2}}-2x+1$ (ĐL Pytago)

$\Rightarrow CO=\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}$

Xét tam giác vuông ABO có: ($\widehat{BAO}={{90}^{o}}$)

$B{{O}^{2}}=B{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}$(ĐL Pytago)

$\Rightarrow A{{O}^{2}}=B{{O}^{2}}-B{{A}^{2}}={{x}^{2}}-{{(x-1)}^{2}}=2x-1$

$\Rightarrow AO=\sqrt{2x-1}$ 

a. OC = 3.OA

$\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}=3.\sqrt{2x-1}$ (x>1)

$2{{x}^{2}}-2x+1=9.(2x-1)$

$2{{x}^{2}}-20x+10=0$

$\Rightarrow$ $x=5+2\sqrt{5}$ (thỏa mãn điều kiện x > 1) hoặc $x=5-2\sqrt{5}$ (loại do x>1)

$\Rightarrow$ OB = $5+2\sqrt{5}-1$=$4+2\sqrt{5}$  cm

b. $OC=\frac{5}{4}OB$

$\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}=\frac{5}{4}.x$

$2{{x}^{2}}-2x+1=\frac{25}{16}.{{x}^{2}}$

$\frac{7}{16}{{x}^{2}}-2x+1=0$

$x=4$ (thỏa mãn x >1) hoặc $x=\frac{4}{7}$ (loại do x>1)

$\Rightarrow$ OB = 3 cm